전자기학에서의 유일성 정리 (Uniqueness Theorem in Electromagenetics)

라플라스 방정식이 영역 내에 극값을 가지지 않고, 평균값의 성질을 갖는다는 특징을 저번 포스팅에서 밝혔습니다. 그런데 라플라스 방정식을 풀어 해를 정확히 정하려면 방정식 외에 경계조건(Boundary condition)이 주어져야 합니다. 유일성 정리(Uniqueness Theorem)은 라플라스 방정식에 적절한 경계조건이 주어지면 퍼텐셜을 하나의 값으로 완전히 정할 수 있다는 내용에 관한 정리입니다.

 

정리($E.M$) 2.3

The solution to Laplace's Eqaution in some volume $\mathcal{V}$ is uniquely determined of $V$(=potential) if specified on the boundary surface $S$.

어떤 부피영역 $\mathcal{V}$ 에서 라플라스 방정식의 해는 만약 $\mathcal{V}$ 의 경계면 $S$ 에서 퍼텐셜 $V$값이 주어지는 경우, 유일하게 결정된다.

 

보통의 경우 전위와 부피를 모두 $V$로 적는데, 둘이 동시에 나와버리면 혼동을 방지하기 위해 부피는 기울임체인 $\mathcal{V}$ 를 사용하여 적습니다.

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증명을 해보겠습니다. 별로 어렵지 않으며 증명 과정에서 '귀류법(proof by contradiction)'을 사용할 것입니다. 해가 유일하지 않아 2개라고 생각하고 가정한 뒤, 결국 마지막에 두개로 가정한 해가 같을 수 밖에 없다는 모순을 이끌어낼 것입니다.

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증명) 라플라스 방정식의 해가 두개라고 가정하면

$$\nabla^2V_2=0\;\;,\;\;\nabla^2V_2=0$$

이 때 두 퍼텐셜의 차이를 $V_3$ 으로 정의하면, $V_3$ 역시 라플라스 방정식의 해가 됩니다. 왜냐하면 라플라스 방정식은 선형이라서, 해들의 선형결합도 해가 되기 때문입니다.

$$V_3=V_1-V_2\;\;,\;\; \nabla^V_3=\nabla^2V_1-\nabla^2V_2=0$$

그런데 라플라스 방정식은 영역 안에 극값이 존재할 수 없습니다. 그러니 미분해서 0이 나왔다는 것은 $V$ 값이 그냥 0이라는 뜻이죠. 따라서 $V_3=V_1=V_2=0$ 입니다.

$$V_1=V_2$$

 

만약 영역 안에 전하밀도가 존재한다면, 라플라스 방정식이 포아송 방정식(Poisson's equation)으로 변하게 되고 다음의 따름정리가 성립하게 됩니다. 증명은 생략하겠습니다.

 

따름정리($E.M$) 2.3.1

The potential in a volume $\mathcal{V}$ is uniquely determined if the charge density($\rho, \lambda , \sigma$) throughout the region, and the value of $V$ on all boundaries are specified.

부피영역 $\mathcal{V}$ 에서 퍼텐셜이 유일하게 정의되기 위해서는 영역 안에서의 전하밀도 ($\rho, \lambda, \sigma $ 등) 와 모든 경계에서의 전위값이 주어져야 한다.

 

제 2 유일성 정리는 도체로 둘러싸인 영역 내에 전하밀도가 주어졌을 때, 도체의 총 전하량을 알면 전기장을 유일하게 결정할 수 있다는 정리입니다. 제 2 유일성 정리는 직관적으로 보았을 때 납득이 갈만한 어렵진 않은 내용입니다. 그래서 굳이 증명을 하지는 않으려고 합니다.

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라플라스 방정식을 푸는데 핵심적인 내용은 라플라스 방정식은 극값을 허용하지 않고, 평균값의 특징을 가지고, 경계면에서 조건이 주어졌을 때 해가 유일하게 결정된다는 제 1 유일성 정리입니다. 이를 숙지하고 다음 시간부터 편미분방정식을 본격적으로 풀어 보도록 하겠습니다.

 

 

[참고문헌]

Introduction to Electrodynamics, Griffiths, 4e