전기쌍극자 모멘트의 뜻과 이에 의한 전기장과 퍼텐셜(Electric field and potential of Electric dipole)

전하량이 같고 부호가 다른 양전하와 음전하 두 전하의 쌍을 전기 쌍극자라고 부르는데, 물리와 화학에서 간간히 등장합니다. 물론 두 과목에서의 접근법이 다릅니다. 화학에서는 반데르발스 힘과 같은 분자간 힘과 더불어 영구 전기 쌍극자 모멘트를 갖는 분자들이 어떤 방향으로 쌍극자를 만들어서 편극되거나 전자가 치우친 방향이 어느 쪽인지 등을 알아내는 것에 관심이 있다면, 물리에서는 쌍극자가 만드는 전기장과 전위에 방점을 둡니다. 이처럼 전기쌍극자는 그 자체만으로도 만들어진 전기장과 퍼텐셜이 신비롭지만, 특히 다중극 전개를 함에 있어서 가장 중요한 역할을 수행하게 됩니다. 오늘 할 일은 전기 쌍극자가 만드는 전기장과 퍼텐셜을 고민해 보는 것입니다.

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1. 전기 쌍극자

 

1) 정의

 

크기가 같고 부호가 반대인 두 전하 $+q$와 $-q$가 거리 $d$만큼 떨어져 있는 것을 '전기 쌍극자(Electic dipole)'이라 부른다. 이 때 전기 쌍극자를 나타내는 물리량 $p=qd$ 를 '쌍극자 모멘트(dipole moment)'라고 부른다.

 

전기 쌍극자의 물리적 표현식을 전기 쌍극자 모멘트라고 하고, 양전하와 음전하가 거리 $d$ 만큼 떨어져 있을 때의 쌍극자 모멘트는

 

$$p\equiv qd\;\;,\;\; \mathbf{p}=q\mathbf{d}$$

와 같이 나타냅니다.(p값이 쌍극자 모멘트입니다) 이에 의한 효과는 마치 작은 자석이 보여주는 자기력선과 매우 유사한 전기력선으로 나타낼 수 있습니다. (본문의 3에 있는 그림 참조)쌍극자는 방향을 가지고 있어서 벡터로 표기할 수 있고, 쌍극자 벡터의 방향은 음전하에서 양전하 방향입니다! 혼동하지 않도록 주의해야 합니다. 이것은, 전기력선이 나가는 곳이 양전하이고 들어가는 지점이 음전하이기에 양전하와 음전하를 잇는 직선상에서 양전하에서 음전하 방향으로 전기력선이 가니, 쌍극자의 방향과 전기력선 방향이 같을 것이라 착각하면 틀리기 십상입니다.

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2. 쌍극자에 의한 퍼텐셜

 

 

정리($E.M$) 2.4
전기 쌍극자가 자유공간에 놓여있는 경우, 쌍극자로부터 $r$만큼 떨어진 곳 $P$에서의 전기 퍼텐셜은

$$V_{\mathrm{dip}}(r,\theta)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\mathbf{p}\cdot\hat{r}}{r^2}=\frac{\mathbf{p}\cdot \mathbf{r}}{4\pi\epsilon_0 r^3}=\frac{p\cos\theta }{4\pi\epsilon_0 r^2}\;\;\;\;\;(p=qd=ql)$$

 

우선 전위에 관한 식이 세 항인데, 모두 같은 항이고 어떻게 쓰느냐의 차이만 조금 존재하는 것입니다.

 

또한 제 블로그에서 증명은 원래 박스를 만들어 그 안에서 작성하지만 물리에 관한 정리에서는 그림을 보면서 설명글로 적는 경우가 많고 이번에도 그렇게 적겠습니다.

 

왼쪽 그림은 전기 쌍극자를 멀리서 본 상황으로, 둘의 떨어진 거리를 $l$ 로 나타낸 것이며 둘 사이의 중점에서 $P$ 까지의 거리가 $r$, 양전하와 음전하에서 $P$ 까지의 거리가 각각 $r_1,\, r_2$ 로 나타나 있습니다. 오른쪽 그림은 쌍극자를 확대해서 본 그림으로 이 때 $r_1,\, r,\, r_2$ 방향으로 직선을 그었을 때 모두 평행해지는 상태를 나타낸 것입니다.

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$P$ 점에서의 전위는 ^[각주:1]

 

$$V(\mathbf{r})=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\left( \frac{1}{\eta_1}-\frac{1}{\eta_2} \right)$$

 

입니다. 이 때 쌍극자의 두 전하가 떨어진 거리에 비해 $r$이 매우 크기 때문에, 쌍극자를 확대한 그림에서

 

$$\eta_1=r-\frac{l}{2}\cos \theta \;\;,\;\;\eta_2=r+\frac{l}{2}\cos \theta$$
가 성립합니다. 이렇게 보아도 되고, 아니면 제2코사인법칙을 사용하면

 

$$\eta_1^2=r^2+\left( \frac{l}{2} \right)^2-2r\left( \frac{l}{2} \right)\cos \theta=r^2\left( 1-\frac{l}{r}\cos \theta+\frac{l^2}{4r^2} \right) \\\\

\eta_2^2=\eta_1^2=r^2+\left( \frac{l}{2} \right)^2-2r\left( \frac{l}{2} \right)\cos \left( \pi-\theta \right)=r^2\left( 1+\frac{l}{r}\cos \theta+\frac{l^2}{4r^2} \right)$$

 

이렇게 구해도 됩니다. 그 다음은 이항전개의 근사를 이용합니다.

 

$$\frac{1}{1\pm x}\simeq 1\mp x$$

그러면 전위는

 

$$\begin{align*}

V&=V(r,\theta) =\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\left[ \frac{1}{r-\displaystyle \frac{l}{2}\,\cos\theta}
- \frac{1}{r+\displaystyle \frac{l}{2}\,\cos\theta}\right] 
\\\\&=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{1}{r}\left( \frac{1}{1-\displaystyle \frac{l\cos\theta}{2r}}
-\frac{1}{1+\displaystyle \frac{l\cos\theta}{2r}} \right)
\\\\&\simeq \frac{q}{4\pi\epsilon_0r}\left\{ \left( 1+\frac{l\cos\theta}{2r} \right)-\left( 1-\frac{l\cos\theta}{2r} \right) \right\}
\\\\&=\frac{ql\cos \theta}{4\pi\epsilon_0r^2}=\frac{p\cos\theta}{4\pi\epsilon_0r^2}

\end{align*}$$
이것을 벡터 내적 표현을 사용해 다듬어 정리하면 아래의 식을 얻습니다. 이것이 전기 쌍극자에 의한 전위를 나타내는 식이고, $\theta$ 는 극각입니다.

 

$$V_{\mathrm{dip}}(r,\theta)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\mathbf{p}\cdot\hat{r}}{r^2}=\frac{\mathbf{p}\cdot \mathbf{r}}{4\pi\epsilon_0 r^3}=\frac{p\cos\theta }{4\pi\epsilon_0 r^2}$$

 

이로부터 쌍극자의 특징을 정리하면 다음과 같습니다.

 

정리($E.M$) 2.4
① 점전하의 전위는 $\displaystyle \frac{1}{r}$ 에 비례하지만, 쌍극자의 전위는 $\displaystyle \frac{1}{r^2}$ 에 비례한다.
② 전위 $V(r,\theta)$ 는 $q$와 $d$의 곱인 쌍극자 모멘트 $p=qd$ 에 의존한다.
③ 점전하의 전위는 극각 $\theta$ 에 대한 의존성이 없으나, 쌍극자는 $r$과 $\theta$ 모두에 의존한다.

 

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3. 전기 쌍극자에 의한 전기장

 

정리($E.M$) 2.5
쌍극자에 의한 전기장은
$$\mathbf{E}_{\mathrm{dip}}(r,\theta)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{p}{r^3}\left( 2\cos\theta\,\hat{r}+\sin\theta\,\hat{\theta} \right) \\\\

\mathbf{E}_{\mathrm{dip}}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r^3}\left\{ 3\left( \mathbf{p}\cdot
\hat{r} \right)\hat{r}-\mathbf{p} \right\}$$

 

우선 전기장에 관한 식이 구면좌표계에서 쓰는 방식과, 단순히 $r$만을 이용해 표현하는 두 방식이 있다는 것을 기억합시다.

 

첫번째 식을 먼저 분석할 것입니다. 쌍극자에 의한 전기력선은 위의 그림처럼 존재하는 것이 자명합니다. (축을 잘 보세요) 쌍극자 $p$가 원점에 있고 방향은 양의 $z$방향과 같을 때, 구면좌표계를 고려하면 $(r,\theta)$ 지점에서 퍼텐셜은 $V_{\mathrm{dip}}(r,\theta)=\displaystyle \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\displaystyle \frac{\mathbf{p}\cdot\hat{r}}{r^2}$ 이고, 전기장을 구하고 싶으면 전기장과 전위의 관계 $\mathbf{E}=-\nabla V$ 를 이용하면 됩니다.

 

[그림 1] 구면 좌표계에서 쌍극자 모멘트

 

$$E_r=-\frac{\partial V}{\partial r}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left( \frac{2p\cos\theta}{r^3} \right) \\\\
E_{\theta}=-\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial \theta}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left( \frac{p\sin \theta}{r^3} \right) \\\\
E_{\phi}=-\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial V}{\partial \phi}$$

그러므로 정리하면 쌍극자에 의한 전기장

 

$$\mathbf{E}_{\mathrm{dip}}(r,\theta)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{p}{r^3}\left( 2\cos\theta\,\hat{r}+\sin\theta\,\hat{\theta} \right)$$
입니다.

 

반면 두번째 식은, 첫 식의 구면좌표계의 단위벡터를 직교좌표계의 단위벡터로 변환하면 얻을 수 있게 됩니다. 다만 그 과정은 복잡하고 귀찮으니 좀 더 쉬운 방법을 사용해 보겠습니다. 우선 $p$의 방향이 $+z$ 방향이므로,

 

$$\mathbf{p}=qd\mathbf{k}$$

가 성립합니다. 그 다음, $p$와 $r$이 이루는 각도가 $\theta$ 이므로

 

$$\mathbf{p}\cdot \hat{r}=p\cos \theta = qd\cos \theta$$
까지 성립합니다.

 

마지막으로 구면좌표계와 직교좌표계의 단위벡터들의 연결식에서 

 

$$-\mathbf{k}=\sin \theta \hat{\theta} - \cos \theta \hat{r}$$
의 관계가 성립하므로,

 

$$\begin{align*}

\mathbf{E}_{\mathrm{dip}}(r,\theta)&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{p}{r^3}\left( 2\cos\theta\,\hat{r}+\sin\theta\,\hat{\theta} \right) \\\\&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0r^3}
\left\{ 3qd\cos\theta \hat{r}+qd\left( \sin\theta \hat{\theta}-\cos\theta \hat{r} \right) \right\}
\\\\&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0r^3}\left\{ 3\left( \mathbf{p}\cdot \hat{r} \right)\hat{r}-p\mathbf{k} \right\}
\\\\&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left\{ 3\left( \mathbf{p}\cdot \hat{r} \right)\hat{r}-p\mathbf{k} \right\}
\\\\&=\mathbf{E}_{\mathrm{dip}}(\mathbf{r})
\end{align*}$$
으로 증명이 완료됩니다.

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4. 확장 표현

 

쌍극자 모멘트가 이산적(discreat)으로 $N$개 분포해 있을 때, 연속적으로 분포해 있을 때 이들에 의한 전기 쌍극자 효과는 각각 시그마와 인테그랄을 표현해서 나타낼 수 있습니다.

 

정리($E.M$) 2.6
① 이산적 : $\mathbf{p}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}q_i\,\mathbf{r}_i^{'}$
② 연속적 : $\mathbf{p}=\displaystyle\int \mathbf{r}^{'}\,dq$ 
③ 일반화(3차원 공간) : $\mathbf{p}=\displaystyle\iiint_{\mathcal{V}}\mathbf{r}^{'}\,\rho(\mathbf{r}^{'})\,d\tau^{'}$

 

 

 

[참고문헌]

Introduction to Electrodynamics, Griffiths, 4e

 

 

 

1. 일반물리학 때문에 이 글을 읽으시는 경우, 괄호 내의 분모의 $\eta$ 는 분리 벡터라 불리는 것으로 일반물리학 수준에서 사용하지 않는 물리량입니다. 자세한 내용은 이 곳을 참고하세요. [본문으로]