이번 글에서는 열확산 방정식에 대해 알아보자. 전자기학에서 배웠던 구면 좌표계에서 라플라스 방정식의 풀이법에 대한 지식이 조금 필요하다. (필요한 내용들은 중간 중간 링크를 달아 두었다.)
1. 열확산 방정식
1) 유도 및 개념

어떤 닫힌 부피 안에 있는 열이 그 부피를 둘러싼 닫힌 표면 에서 흘러나오는 상황을 생각하자.열 선속(thermal flux) 가 단위 시간동안 단위 면적을 흐르는 열에너지라는 점을 고려하면, 이 닫힌 표면 전체에서 흘러나오는 열의 흐름은
으로 주어진다. 이 적분은 선속에 면적을 곱한 것으로 차원은 단위 시간당 일의 양인 일률()과 동일하다. 적분의 의미를 고려하면, 이 양은 닫힌 표면 안쪽에 있는 물질이 외부로 에너지를 잃어버리는 손실율과 동일하다. 곧, 닫힌 표면을 기준으로 안쪽에 있는 부피에서의 총 열에너지 변화율로 생각할 수 있다.
열에너지는 기본적인 관계 로부터, 다음 적분으로 쓸 수 있다.
는 부피에 대한 적분임을 의미하고, 는 단위 부피당 열용량으로 단위는 () 이다. 그렇다면 위의 적분 이 시간에 따라 부피 내의 열에너지 변화량과 같기 때문에,
발산 정리를 사용하면,
을 조합하면
를 얻는다. 이제 열확산 방정식을 정의할 수 있다.
열확산 방정식(Thermal diffusion equation)은 다음과 같다.
여기서 는 '열확산도(thermal diffusivity)'라 부르며, 단위는 이다.
2) 1차원 열확산 방정식
열확산 방정식은 그러므로 라플라스 방정식(Laplace equation)이다. 그러나 1차원의 경우는 파동방정식과 비슷한 꼴을 가지게 된다. 2
파동 방정식의 해는 지수함수로 적을 수 있어서, 열확산 방정식의 해를 파동 형태라 생각해보자.
는 파수(wave number), 는 각진동수, 는 파장, 는 진동수이다. 이 식을 3 에 대입하면
파동은 공간 부분과 시간 부분으로 나누어져 있다. 공간 부분, 즉 에 관한 항을 보면 이는 에 해당하는데. 만일 의 값으로 을 택하면,
이 되지만 이 것은 에서 발산한다. 반면 의 값으로 을 택한다면
을 얻지만 이 역시도 에서 발산한다. 그렇기 때문에 경계조건이 필요하고, 이나 영역을 골라야 한다. 만일 을 골랐다고 하고 에서 적절한 경계조건이 주어진다고 하자. 그러면 에서 발산하지 않는 식 을 고를 수 있고, 선형결합으로 최종 해를 쓰면
으로 해를 쓰면 된다. 계수 는 물론 에서 주어지는 경계조건으로 정할 수 있다.
2. 정상상태(Steady state)
어떤 계가 정상상태(steady state)에 도달했다는 것은 시간에 따라 특정 물리량이 계속 바뀌지 않고 유지된다는 것이다. 여기서는 온도의 정상상태에 주목한다. 그러면
을 의미하는 것이고, 이를 열확산 방정식에 대입하면
을 얻는다. 우리에게 익숙한 라플라스 방정식(Laplace equation)이다. 그렇다면, 곧 3차원에서 이를 풀 것이고 해의 모양은 좌표계에 따라 다르지만 변수분리법을 통해 접근하면 된다.
3. 공에 대한 열확산 방정식
구면 좌표계(Spherical coordinates)에서 열확산 방정식을 풀어보자. 물리학을 공부하는 학생이라면 이 방정식은 전자기학1, 양자역학1, 수리물리학(보통 2)에서 한 번쯤 공부해보았을 것이다.구면 좌표계에서 라플라스 방정식은 4
가 극각이나 방위각에 대한 함수가 아닌 경우, 즉 가 극각과 방위각에 독립(independent) 인 경우 대칭성을 가지고 있다는 것인데, 이러한 간단한 상황을 고려하면
로 단순화 시킬 수 있다. 그러면 확산 방정식은 간단하게
으로 귀결된다.
일반적인 정상상태에 있는 3차원 공의 열확산 방정식을 해결해보자.
sol)
에서 시작한다. 우선 괄호 안의 양이 상수가 되어야 에 대해 미분했을 때 0이 나올 수 있기 때문에
이 되어야 하고, 이는 가
로 주어짐을 뜻한다. 값은 경계조건으로 구할 수 있고, 는 적분상수이니 상수지만 는 보통 인 함수이다.
4. 열의 원천(Source of Heat)
처음에 제시된 특정 부피 에서 단위 부피당 열이 의 비율로 생성된다고 하자. 그러면 이 비율이 식 에 더해지기 때문에 식 을 다음과 같이 바꿔준다.
이를 정리하면,
이며, 을 이용하면 다음 결과를 얻는다.
열의 원천을 고려하면, 단위 부피당 열 생성 비율 를 생각했을 때 열확산 방정식은
- 식 8번인 것이 맞습니다. 순서를 지키지 못한 점은 너그럽게 봐줍시다. [본문으로]
- 비슷하다고 하긴 했지만, 파동 방정식은 사실 양변이 모두 2계 편미분이고 1차원 열확산 방정식은 한 변만 2계 편미분이다. 그렇지만 파동은 일반물리학 - 정확히는 전자기학에서 지수함수꼴을 배운다 - 에서 지수함수로 적을 수 있는데, 양변이 각각 서로 다른 문자 t,x에 대해 미분된 것이고 지수함수는 2번을 미분하든 1번을 미분하든 상수 차이밖에 없기 때문에, 열확산 방정식의 해를 파동 형태로 잡는 것이 불가능한 것은 아니다. [본문으로]
- 사실 만일 이것을 모르면 일반물리학의 파동 단원에서 복습을 하는 것을 추천한다. [본문으로]
- 한 번도 본 적이 없다면 이 곳을 참고하여라. [본문으로]
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