열확산 방정식(Thermal diffusion equation)

이번 글에서는 열확산 방정식에 대해 알아보자. 전자기학에서 배웠던 구면 좌표계에서 라플라스 방정식의 풀이법에 대한 지식이 조금 필요하다. (필요한 내용들은 중간 중간 링크를 달아 두었다.)

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1. 열확산 방정식

 

1) 유도 및 개념

 

 

어떤 닫힌 부피 $\mathcal{V}$ 안에 있는 열이 그 부피를 둘러싼 닫힌 표면 $\mathcal{S}$ 에서 흘러나오는 상황을 생각하자.열 선속(thermal flux) $\mathbf{J}$ 가 단위 시간동안 단위 면적을 흐르는 열에너지라는 점을 고려하면, 이 닫힌 표면 전체에서 흘러나오는 열의 흐름은

 

$$\int_{\mathcal{S}}^{}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{a}\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(1)$$

 

으로 주어진다. 이 적분은 선속에 면적을 곱한 것으로 차원은 단위 시간당 일의 양인 일률($J/s$)과 동일하다. 적분의 의미를 고려하면, 이 양은 닫힌 표면 안쪽에 있는 물질이 외부로 에너지를 잃어버리는 손실율과 동일하다. 곧, 닫힌 표면을 기준으로 안쪽에 있는 부피에서의 총 열에너지 변화율로 생각할 수 있다.

 

열에너지는 기본적인 관계 $Q=cm\Delta T$ 로부터, 다음 적분으로 쓸 수 있다.

 

$$Q=\int_{\mathcal{V}}^{}CT\,d\tau$$

 

$d\tau$ 는 부피에 대한 적분임을 의미하고, $C$는 단위 부피당 열용량으로 단위는 ($J/Km^3$) 이다. 그렇다면 위의 적분 $(1)$ 이 시간에 따라 부피 내의 열에너지 변화량과 같기 때문에,

 

$$\frac{\partial Q}{\partial t}=-\frac{\partial }{\partial t}\int_{\mathcal{V}}^{}CT\,d\tau=
\int_{\mathcal{S}}^{}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{a}\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(2)$$

 

발산 정리를 사용하면,

 

$$\int_{\mathcal{S}}^{}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{a}=\int_{\mathcal{V}}^{}\nabla \cdot \mathbf{J}\,d\tau\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(3)$$

 

$(2),(3)$ 을 조합하면

 

$$\nabla \cdot \mathbf{J}=-C\frac{\partial T}{\partial t}\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(8)$$^[각주:1]

 

를 얻는다. 이제 열확산 방정식을 정의할 수 있다.

 

열확산 방정식(Thermal diffusion equation)은 다음과 같다.
$$\frac{\partial T}{\partial t}=D\nabla^2T$$ 여기서 $D=\displaystyle\frac{\kappa}{C}$ 는 '열확산도(thermal diffusivity)'라 부르며, 단위는 $m^2/s$ 이다.

 

 

2) 1차원 열확산 방정식

 

열확산 방정식은 그러므로 라플라스 방정식(Laplace equation)이다. 그러나 1차원의 경우는 파동방정식과 비슷한 꼴을 가지게 된다.^[각주:2]

 

$$\frac{\partial T}{\partial t}=D\frac{\partial^2T }{\partial x^2}\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(\mathrm{1-dim\;
thermal\; diffusion\; equation})\;\;\;\cdots \;\;\;(4)$$

 

$$\frac{\partial^2 y(x,y)}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2y(x,t) }{\partial t^2}\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(\mathrm{wave \; equation})\;\;\;\cdots \;\;\;(5)$$

 

파동 방정식의 해는 지수함수로 적을 수 있어서, 열확산 방정식의 해를 파동 형태라 생각해보자.

 

$$T(x,y)\propto e^{i(kx-\omega t)} $$

 

$k$는 파수(wave number), $\omega$ 는 각진동수, $\lambda$ 는 파장, $f$는 진동수이다.^[각주:3] 이 식을 $(4)$ 에 대입하면

 

$$i\omega = -Dk^2 \;\; \Rightarrow \;\; k^2=\frac{i\omega}{D}$$

 

$$k=\pm (1+i)\sqrt{\frac{\omega}{2D}}=\sqrt{\frac{i\omega}{D}},-\sqrt{\frac{i\omega}{D}}$$

 

파동은 공간 부분과 시간 부분으로 나누어져 있다. 공간 부분, 즉 $x$에 관한 항을 보면 이는 $e^{ikx}$ 에 해당하는데. 만일 $k$의 값으로 $\displaystyle\sqrt{\frac{i\omega}{D}}$ 을 택하면,

 

$$e^{\displaystyle\left\{ (i-1)\sqrt{\frac{\omega}{2D}}\,x \right\}}\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(6)$$

 

이 되지만 이 것은 $x\rightarrow -\infty$ 에서 발산한다. 반면 $k$의 값으로 $-\displaystyle\sqrt{\frac{i\omega}{D}}$ 을 택한다면

 

$$e^{\displaystyle\left\{ (-i+1)\sqrt{\frac{\omega}{2D}}\,x \right\}}\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(7)$$

 

을 얻지만 이 역시도 $x\rightarrow \infty$ 에서 발산한다. 그렇기 때문에 경계조건이 필요하고, $x>0$ 이나 $x<0$ 영역을 골라야 한다. 만일 $x>0$ 을 골랐다고 하고 $x=0$에서 적절한 경계조건이 주어진다고 하자. 그러면 $x\rightarrow \infty$ 에서 발산하지 않는 식 $(6)$ 을 고를 수 있고, 선형결합으로 최종 해를 쓰면

 

$$T(x,t)=\sum_{\omega}^{}A(\omega)e^{-i\omega t}e^{\displaystyle\left\{ (i-1)\sqrt{\frac{\omega}{2D}}\,x \right\}}$$

 

으로 해를 쓰면 된다. 계수 $A$는 물론 $x=0$ 에서 주어지는 경계조건으로 정할 수 있다.

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2. 정상상태(Steady state)

 

어떤 계가 정상상태(steady state)에 도달했다는 것은 시간에 따라 특정 물리량이 계속 바뀌지 않고 유지된다는 것이다. 여기서는 온도의 정상상태에 주목한다. 그러면

 

$$\frac{\partial T}{\partial t}=0$$

 

을 의미하는 것이고, 이를 열확산 방정식에 대입하면

 

$$\nabla^2 T=0$$

 

을 얻는다. 우리에게 익숙한 라플라스 방정식(Laplace equation)이다. 그렇다면, 곧 3차원에서 이를 풀 것이고 해의 모양은 좌표계에 따라 다르지만 변수분리법을 통해 접근하면 된다.

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3. 공에 대한 열확산 방정식

 

구면 좌표계(Spherical coordinates)에서 열확산 방정식을 풀어보자. 물리학을 공부하는 학생이라면 이 방정식은 전자기학1, 양자역학1, 수리물리학(보통 2)에서 한 번쯤 공부해보았을 것이다.^[각주:4]구면 좌표계에서 라플라스 방정식은

 

$$\nabla ^2 T=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left( r^2\frac{\partial T}{\partial r} \right)
+\frac{1}{r^2\sin \theta}\frac{\partial }{\partial \theta}\left( \sin \theta \frac{\partial T}{\partial \theta} \right)+\frac{1}{r^2\sin^2 \theta}\frac{\partial ^2T}{\partial \phi^2}=0$$

 

$T$가 극각이나 방위각에 대한 함수가 아닌 경우, 즉 $T$가 극각과 방위각에 독립(independent) 인 경우 대칭성을 가지고 있다는 것인데, 이러한 간단한 상황을 고려하면

 

$$\nabla^2 T=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left( r^2\frac{\partial T}{\partial r} \right)$$

 

로 단순화 시킬 수 있다. 그러면 확산 방정식은 간단하게

 

$$\frac{\partial T}{\partial t}=\left( \frac{\kappa}{C} \right)\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left( r^2\frac{\partial T}{\partial r} \right)$$

 

으로 귀결된다.

 

일반적인 정상상태에 있는 3차원 공의 열확산 방정식을 해결해보자.

 

sol) $$\nabla^2 T=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left( r^2\frac{\partial T}{\partial r} \right)=0$$

 

에서 시작한다. 우선 괄호 안의 양이 상수가 되어야 $r$에 대해 미분했을 때 0이 나올 수 있기 때문에

 

$$\left( r^2\frac{\partial T}{\partial r} \right)=C$$

 

이 되어야 하고, 이는 $T$ 가

 

$$T=\frac{B}{r}+A$$

 

로 주어짐을 뜻한다. $A,B$값은 경계조건으로 구할 수 있고, $A$는 적분상수이니 상수지만 $B$는 보통 $B=B(r,t)$ 인 함수이다.

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4. 열의 원천(Source of Heat)

 

처음에 제시된 특정 부피 $\mathcal{V}$ 에서 단위 부피당 열이 $H$의 비율로 생성된다고 하자. 그러면 이 비율이 식 $(8)$ 에 더해지기 때문에 식 $(8)$ 을 다음과 같이 바꿔준다.

 

$$\nabla \cdot \mathbf{J}=-C\frac{\partial T}{\partial t}+H$$

 

$$\nabla \cdot \mathbf{J}=\nabla\cdot(-\kappa\nabla T)=-\kappa\nabla^2 T= -C\frac{\partial T}{\partial t}+H$$

 

이를 정리하면,

 

$$\nabla^2 T=\frac{C}{\kappa}\frac{\partial T}{\partial t}-\frac{H}{\kappa}$$

 

이며, $D=\displaystyle\frac{\kappa}{C}$ 을 이용하면 다음 결과를 얻는다.

 

열의 원천을 고려하면, 단위 부피당 열 생성 비율 $H$를 생각했을 때 열확산 방정식은
$$\frac{\partial T}{\partial t}=D\nabla^2 T+\frac{H}{C}$$

 

 

 

1. 식 8번인 것이 맞습니다. 순서를 지키지 못한 점은 너그럽게 봐줍시다. [본문으로]
2. 비슷하다고 하긴 했지만, 파동 방정식은 사실 양변이 모두 2계 편미분이고 1차원 열확산 방정식은 한 변만 2계 편미분이다. 그렇지만 파동은 일반물리학 - 정확히는 전자기학에서 지수함수꼴을 배운다 -  에서 지수함수로 적을 수 있는데, 양변이 각각 서로 다른 문자 t,x에 대해 미분된 것이고 지수함수는 2번을 미분하든 1번을 미분하든 상수 차이밖에 없기 때문에, 열확산 방정식의 해를 파동 형태로 잡는 것이 불가능한 것은 아니다. [본문으로]
3. 사실 만일 이것을 모르면 일반물리학의 파동 단원에서 복습을 하는 것을 추천한다. [본문으로]
4. 한 번도 본 적이 없다면 이 곳을 참고하여라. [본문으로]