로렌츠 힘, 로런츠 힘(Lorentz Force)

자기력의 기본적 원리를 숙지하였다면 로렌츠 힘을 이해하는 과정으로 넘어갈 수 있습니다.

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1. 로렌츠 힘, 로런츠 힘(Lorentz Force)

 

이전 글에서는 자기력이 전류가 흐르는 도선 주위에 생기는 자기장에 의해 발생하는 힘이라 설명하였습니다. 그런데 전류라는 것은 일정한 속도를 가진 전하의 흐름을 가리키는 것이고, 그러니 전류와 자기장의 관계가 있다면 전류의 정체인 전하와 자기력을 엮으려는 시도가 시작될 수 있습니다. 그것이 로런츠 힘에 해당합니다.

 

1) 정의

 

정의를 먼저 보고 그 후 유도를 하겠습니다.

 

대전 입자에 작용하는 전기력과 자기력의 합력을 로렌츠 힘이라고 한다.
$$\mathbf{F}=\mathbf{F}_B+\mathbf{F}_E=q\left( \mathbf{v}\times \mathbf{B} \right)+\mathbf{E}$$

 

로런츠 힘은 도선이 아닌 전하(대전 입자)를 기준으로, 그것이 받는 힘을 말합니다. 보통 전하 1개 입자를 말하기 때문에 위 식에서 $q$는 바로 그 전하의 전하량을 뜻합니다. 또한, 자기력 뿐만 아니라 전기력까지 포함시키는 개념입니다. 왜냐하면 대전 입자 기준에서 생각한다면, 자기력도 있지만 애초에 그 입자는 대전되어 있으니 그에 의한 전기력도 받을 수 있기 때문이죠. 두 힘의 합력을 로런츠 힘이라고 하고, 전하는 그러니 최종적으로 합력인 로런츠 힘에 의해 운동 양상이 결정되게 됩니다.

 

하지만 여기서는 자기력에 대해서 고민을 하고 있으니 대전 입자가 받는 자기력만 떼어내서 생각해 봅시다.

 

$$\mathbf{F}_B=q(\mathbf{v}\times \mathbf{B})\;\;,\;\;F=qvB\sin \theta\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(1)$$

 

벡터로 나타낸 것과 힘의 크기를 나타낸 것을 뜻합니다.

 

 

2) 유도

 

좌측부터 [그림 1], [그림 2]

 

이제 어떻게 식 $(1)$이 등장했는지 간단히 유도를 해봅시다. [그림 1]과 같이 자석 안에 전류 $I$가 흐르는 도선이 있고,^[각주:1] 그 도선 안을 보면 전류의 방향과 전자의 방향이 반대임을 생각해 나타낸 것이 [그림 2]입니다.

 

전하량이 $e$인 자유전자 $N$개가 속력 $v$를 가진 채 도선의 단면을 시간 $t$동안 지난다고 하면, 전류의 세기는 총전하량 $Q$에 대하여

 

$$I=\frac{Q}{t}=\frac{Ne}{t}\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(2)$$

 

입니다. 그리고 자기장 $B$에 대해 수직으로 놓인 길이 $L$인 도선이 전류가 $I$ 흐르고 있을 때, 도선이 받는 자기력은 $\sin\theta=\displaystyle\frac{\pi}{2}$ 이므로 $F=ILB$ 입니다. 이를 $(2)$에 넣고 정리하면

 

$$F=BIL=B\left( \frac{Ne}{t} \right)\left( vt \right)=NBev$$

 

가 되지요. 그러면 전하 1개가 받는 힘은 전하의 총 개수로 나누면 되므로

 

$$f=Bev$$

 

가 됩니다. 이것이 자유전자 1개가 받는 힘의 세기입니다. 전자의 전하량 $e$ 대신에 임의의 대전 입자의 전하량을 $q$로 표기해서 넣어주게 되면 로런츠 힘 법칙 공식이 완성됩니다.

 

 

3) 벡터의 외적

 

로런츠 힘의 세기는 $F=ILB\sin\theta$ 공식이, 사실은 자기장에 대해 도선이 어느 각도를 이루고 있느냐에 따라서 달라지는 것으로 외적의 의미를 가지고 있습니다. 벡터의 외적은 크기만을 나타내면 두 벡터 크기의 곱에 끼인각에 대한 $\sin$값을 곱해준다는 내용은 미적분학에서도 배우니 자세한 설명은 생략하겠습니다. 그래서 $v$와 $B$의 관계도 외적으로 나타나게 됩니다. 이는 $v$와 $B$가 수직을 이룰 때 $F$가 최대가 된다는 뜻이고, $v$와 $B$가 비스듬한 각을 이루면 $\sin\theta$ 값에 비례하게 되며, $v$와 $B$가 나란하면 $F=0$ 이 됨을 뜻합니다. 즉, 대전입자는 자기장에 대해 나란한 방향으로 이동하면 자기력을 받지 않으며 자기장에 대해 수직한 방향으로 움직일수록 더 큰 자기력을 받는다는 사실을 알 수 있습니다. 이러한 원리는 모두 다 $F=ILB\sin\theta$ 식에서 유래된 것으로, 자기력의 원리를 천천히 살펴보았다면 충분히 깨달을 수 있을 것입니다.

 

[그림 3]

 

4) 몇가지 응용들 

 

로런츠 힘의 원리를 이해했다면, 이것을 바탕으로 여러 응용된 사례들이 교과서들에 등장합니다.

 

정리($E.M$) 4.4, 4.5
균일한 자기장에 수직으로 입사한 대전입자의 운동 : 등속 원운동을 한다. 자기력(로런츠 힘)이 구심력으로 작용하여 $qvB=\displaystyle\frac{mv^2}{r}$ 이 되므로 원운동의 반지름과 주기는
$$r=\displaystyle \frac{mv}{qB}\;\;,\;\;T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi m}{qB}$$

균일한 자기장에 비스듬히 입사한 대전입자의 운동 : 나선운동을 하게 된다. 아래 [그림 ]과 같이 $y$방향으로 등속도 운동을 하고 $z$ 방향으로 등속 원운동을 하여 두 효과를 동시에 고려하면 나선운동을 한다.

 

[그림 4]

 

그림은 제가 일전에 예쁘게 정리해둔 것들로 대체하겠습니다.

 

 

 

1. 자석과 도선이 왜 자기장, 자기력과 관련되어 있는지는 이전 글에서 충분히 설명했고 그에 대한 내용을 꼭 숙지하시기 바랍니다. [본문으로]