집합론에서 앞부분은 여러 집합의 종류(합집합, 교집합, 차집합, 여집합 등)을 수리 논리학에 입각하여 정의하고, 그들 사이에서 성립하는 몇가지 성질들을 연구합니다. 수리 논리는 일반적인 철학에서의 논리와 거의 유사하고, 집합에 관한 개념 대부분은 중고교 수학에서 등장하는 내용이니 큰 어려움이 없습니다.
그리고 나서 처음으로 부딪히는 진짜 대학교 수학 내용은 데카르트 곱에서 관계, 동치관계라 볼 수 있습니다. 동치관계와 동치류는 집합론에서 학습하면 끊임없이 이후 학부 과목에서 마주치게 되고 기이하고 신비한 수학적 성질을 탐구하는데 훌륭한 도구로 사용됩니다. 이 개념을 제대로 이해해 봅시다.
1. 두 집합의 데카르트 곱
데카르트곱은 관계를 정의하기 위해 필요한 개념이며, 더 이상 교집합, 합집합, 차집합처럼 두 집합 사이에서의 어떤 특정 원소를 의미하는 개념이나, 여집합의 개념과 완전히 다르게, 그저 어떤 두 집합에서 원소를 하나씩 뽑아 '순서쌍'으로 구성된 새로운 집합을 생성하는 개념을 다루는 것입니다. 데카르트는 '나는 생각한다, 고로 존재한다'를 말한 근대 철학자 데카르트를 말하며 그는 수학에서 데카르트 평면을 고안한 것으로 유명한데, 이 데카르트 평면이란 일반적으로 2차원 x,y좌표를 의미하지요. 이 개념과 유사하게, 데카르트 곱이란, 두 집합에서 원소 하나씩을 뽑아서 순서쌍을 만드는 것입니다.
정의($S.T$) 3-1) 데카르트 곱
임의의 두 집합 $A,B$ 에 대하여 $x\in A$, $y\in B$ 인 두 원소로 이루어진 순서쌍(tuple) $(x,y)$ 의 집합을 집합을, 집합 $A,B$의 '데카르트 곱(Cartesian product)'라 하고
$$A\times B=\left\{ (x,y)\mid x\in A \,\wedge\, x\in B \right\}$$ 로 표기한다.
특히
$$\mathbb{R}\times \mathbb{R}=\left\{ (x,y)\mid x\in \mathbb{R} \,\wedge\, x\in \mathbb{R} \right\}$$ 은 '데카르트 평면(Cartesian coordinates)'라 부르며, 일반적으로 '좌표평면'이라고도 말한다.
단순히 두 집합에서 하나씩 원소를 뽑아 순서대로 만든 순서쌍들로 구성된 집합입니다. 이때 우리가 좌표평면에서 $(1,2)$와 $(2,1)$ 은 엄연히 다른 만큼, 여기서도 $(x,y)$의 순서쌍에서 첫째 좌표와 둘째 좌표의 순서는 중요합니다. 즉 $A\times B \neq B\times A$ 라는 뜻입니다.
정리($S.T$) 3.1) 데카르트 곱의 교집합, 합집합, 차집합에서의 분배법칙
데카르트 곱은 교집합과 합집합, 차집합에 대해 분배법칙이 성립한다.
① $A\times \left( B\cap C \right)=(A\times B)\cap (A\times C)$
② $A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$
③ $A\times (B-C)=(A\times B)-(A\times C)$
증명) 논리 곱의 분배성에서 기인한다.
① $$\begin{align*} (a,x)&\in A\times \left( B\cap C \right) \\\\ &\Leftrightarrow a\in A\,\wedge\, x\in(B\cap C) \\\\& \Leftrightarrow a\in A \,\,\wedge\, \, (x\in B\wedge x\in C) \\\\& \Leftrightarrow (a\in A\,\wedge\,x\in B)\,\wedge\,\left( a\in A \,\wedge\, x\in C \right) \\\\&\Leftrightarrow (a,x)\in (A\times B)\,\wedge\, (a,x)\in (A\times C) \\\\&\Leftrightarrow (a,x)\in \left[ (A\times B)\cap (A\times C) \right] \end{align*}$$
② $$\begin{align*} (a,x)&\in A\times \left( B\cup C \right) \\\\ &\Leftrightarrow a\in A\,\wedge\, x\in(B\cup C) \\\\& \Leftrightarrow a\in A \,\,\wedge\, \, (x\in B\vee x\in C) \\\\& \Leftrightarrow (a\in A\,\wedge\,x\in B)\,\vee\,\left( a\in A \,\wedge\, x\in C \right) \\\\&\Leftrightarrow (a,x)\in (A\times B)\,\vee\, (a,x)\in (A\times C) \\\\&\Leftrightarrow (a,x)\in \left[ (A\times B)\cup (A\times C) \right] \end{align*}_\blacksquare$$
③ $$\begin{align*} (a,x)&\in A\times \left( B- C \right) \\\\ &\Leftrightarrow a\in A\,\wedge\, x\in(B- C) \\\\& \Leftrightarrow a\in A \,\,\wedge\, \, (x\in B\wedge x\notin C) \\\\& \Leftrightarrow (a\in A\,\wedge\,x\in B)\,\wedge\,\left( a\in A \,\wedge\, x\notin C \right) \\\\&\Leftrightarrow (a,x)\in (A\times B)\,\wedge\, (a,x)\notin (A\times C) \\\\&\Leftrightarrow (a,x)\in \left[ (A\times B)- (A\times C) \right] \end{align*}$$
[참고문헌]
You-Feng Lin, Shwu-Yeng T,Lin - Set thoery
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