기수의 덧셈과 곱셈(Addition and product of cardinal number)

 

 

이제 기수끼리의 덧셈과 곱셈을 해보려고 합니다. 무한집합의 기수를 연산할 때는 실수의 덧셈과 곱셈과는 차이가 있다는 점을 주의해야 합니다. 오늘의 키워드는 '서로소'입니다.

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1. 기수의 덧셈

 

정의($S.T$) 4-7) 기수의 덧셈(Addition of cardinality)
$a,b$ 를 기수라 하자. 이때 두 기수의 합을 $a+b:=\left| A\cup B \right|$ 로 정의하고, 여기서 두 집합 $A,B$ 는 서로소이며 각각의 기수는 $\left| A \right|=a\;,\;\left| B \right|=b$ 이다.

 

그러니까 기수의 덧셈을 하려면 더하기 전 두 집합이 서로소여야 합니다. 주어진 두 기수 $a,b$ 에 대하여 이를 기수로 갖는 서로소인 두 집합을 반드시 택할 수 있다고 장담할 수 있을까요? 답은 그렇다인데, 이를 아래 보조정리에서 증명합니다.

 

보조정리($S.T$) 4.2)
$a,b$ 를 기수라 하자. 그러면
① $\left| A \right|=a\;,\;\left| B \right|=b$ 를 만족하는 서로소인 두 집합 $A,B$ 가 존재한다.
② 네 집합 $A,B,A',B'$ 에 대하여 $\left| A\right|=\left|  A' \right|$ 이고 $\left|  B \right|=\left|  B' \right|$ 이고 $A\cap B=\phi =A'\cap B'$ 가 성립하면, $\left| A\cup B\right|=\left|  A'\cup B' \right|$ 이 성립한다.

증명) ① 기수의 공리 A1) 에 의하여, $\left| A \right|=a\;,\;\left| B \right|=b$ 를 만족하는 두 집합 $A,B$ 가 분명히 존재한다. 이 두 집합이 서로소이면 증명이 끝난다. 서로소가 아니라면, $A\times \left\{ 0 \right\}$ 와 $B\times \left\{ 1 \right\}$ 를 택한다. 그러면, $A\sim \left( A\times \left\{ 0 \right\} \right)\;,\;B\sim \left( B\times \left\{ 1 \right\} \right)$ 이고 이때 $\left( A\times \left\{ 0 \right\} \right) \cap  \left( B\times \left\{ 1 \right\} \right)=\phi$ 이다. 즉 기수가 각각 $a,b$ 인 두 서로소인 집합으로 $\left( A\times \left\{ 0 \right\} \right)\;,\;  \left( B\times \left\{ 1 \right\} \right)$ 을 반드시 택할 수 있다.

② 따름정리($S.T$) 4.8.1) 로부터 유도된다. $_\blacksquare$

 

 

우리가 이미 아는 수 체계에서의 연산이 아닐 때, 다른 어떤 대상에 대해 연산을 부여할 때는 그 연산이 잘 정의되는지를 확인해야 합니다. 여기서는 서로소 조건이 굉장히 중요한데, 서로소가 아닌 상황을 한 번 고려해봅시다. 매우 쉽습니다.

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예제 1) 두 집합이 서로소가 아닐 때 위의 정의를 이용하여 기수의 덧셈을 잘 정의할 수 있는가?

 

Sol) $A=\left\{ 1,2 \right\}$ 이고 $A=\left\{ 1,2,3 \right\}$ 라 하자. 그러면 $A,B$ 는 서로소가 아니고 $A\cup B=\left\{ 1,2,3 \right\}$ 이다. 따라서 $a=2,b=3$ 이므로 $a+b=5$ 이지만 $\left| A\cup B \right|=3\neq 5$ 이므로 기수의 덧셈이 잘 정의되지 않는다. $_\blacksquare$

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정의($S.T$) 4-8) 알레프 널과 컨티넘(Aleph null and continuum)
자연수 집합의 기수와 실수 집합의 기수는 다음과 같이 특별한 기호를 도입해서 표현한다. 이 두 기호를 각각 '알레프 널(aleph null)'과 '컨티넘(continuum)'이라고 읽는다.^[각주:1]
① $\left| \mathbb{N}\right|=\aleph_0$
② $\left| \mathbb{R}\right|=\mathfrak{c}$

정리($S.T$) 4.19) 기수의 교환 및 결합법칙
임의의 세 기후 $a,b,c$ 에 대해 다음이 성립한다.
① 교환법칙 : $a+b=b+a$
② 결합법칙 : $(a+b)+c=a+(b+c)$

증명) 서로소인 두 집합의 $A,B$ 의 기수를 각각 $a,b$ 라 하자. 두 집합이 서로소이므로 $A\cup B=B\cup A$ 이므로 교환법칙이 성립한다. 비슷하게 서로소인 세 집합 $A,B,C$ 의 기수를 각각 $a,b,c$ 라 하면 세 집합이 모두 서로소이므로 $(A\cup B)\cup C = A\cup (B\cup C)$ 이므로 결합법칙이 성립한다. $_\blacksquare$

 

 

 

기수의 덧셈에서 가장 중요한 것은, 반드시 더하는 두 집합이 서로소라는 사실입니다. 이를 꼭 명심해야 합니다.

 

정리($S.T$) 4.20) 기수의 합에 관한 등식들
① $\aleph_0+\aleph_0=\aleph_0$
② $n+\aleph_0=\aleph_0$
③ $\aleph_0 + \mathfrak{c}=\mathfrak{c}$
④ $\mathfrak{c} + \mathfrak{c}=\mathfrak{c}$

증명) 

① $$\begin{align*} \aleph_0+\aleph_0&=\left| \mathbb{N} \right|+\left| \mathbb{N} \right|\\\\& = \left| \mathbb{N}_e \right|+\left| \mathbb{N}_o \right|\\\\& = \left| \mathbb{N}_e\cup \mathbb{N}_o \right|\\\\& =\left| \mathbb{N} \right| \\\\& =\aleph_0 \;\;\;\;\;_\blacksquare \end{align*}$$

② 기수가 $n$ 인 집합 $A=\left\{ 1,2,\cdots n \right\}$ 을 생각하자. 그러면 

$$\begin{align*} n+\aleph_0&=n+\left| \mathbb{N} \right|=\left| A \right|+\left| \mathbb{N} \right| \\\\& =\left| A \right|+\left| \mathbb{N}-N_k \right| \\\\&=\left| \left\{ 1,2,\cdots n \right\}\cup \left\{ n+1,n+2,\cdots \right\} \right| \\\\&=\left| \mathbb{N} \right| \\\\&=\aleph_0 \end{align*}$$
여기서 $\left| \mathbb{N}-N_k \right|=\left| \mathbb{N} \right|$ 임을 사용했다. 그 까닭은, $\mathbb{N}\sim \left( \mathbb{N}-N_k \right)$ 이기 때문인데, 함수 $f:\mathbb{N}\rightarrow \left( \mathbb{N}-N_k \right)$ 를 $n\mapsto n+k$ 로 정의하면 이는 일대일대응이기 때문이다. $_\blacksquare$


③ $$\begin{align*} \aleph_0+\mathfrak{c}&=\left| \mathbb{N} \right|+\left| \mathbb{R} \right|\\\\& = \left| \mathbb{N} \right|+\left| (0,1)\right|\\\\& =\left| \mathbb{N}\cup \left( 0,1 \right) \right| \\\\& =\left| \mathbb{R} \right| \\\\& =\mathfrak{c} \end{align*}$$
여기서 $\left| \mathbb{N}\cup \left( 0,1 \right) \right|=\left| \mathbb{R} \right|$ 가 성립하는 까닭은 칸토어-슈뢰더-베른슈타인 정리에 의한 것으로서, $\mathbb{R}$ 의 부분집합인 $\left| \mathbb{N}\cup \left( 0,1 \right) \right|$ 이 $\left| \mathbb{N}\cup \left( 0,1 \right) \right|$ 과 대등하고, 반대로 $\left| \mathbb{N}\cup \left( 0,1 \right) \right|$ 의 부분집합인 $(0,1)$ 이 $\mathbb{R}$ 과 대등하기 때문이다. $_\blacksquare$


④ 함수 $f:(-1,1)\rightarrow \mathbb{R}$ 을 $f(x)=\tan\left( \displaystyle \frac{\pi x}{2} \right)$ 로 잡자. 자명히 $f$ 는 전단사이고, (왜?) 따라서

$$\begin{align*} \mathfrak{c}+\mathfrak{c}&=\left| \mathbb{R} \right|+\left| \mathbb{R} \right| \\\\& =\left| (-1,0)\right|+\left| (0,1) \right| \\\\&=\left| (-1,0)\cup[0,1) \right| \\\\&=\left| (-1,1) \right| \\\\&=\left| \mathbb{R} \right| \\\\&=\mathfrak{c}\;\;\;\;\; _\blacksquare \end{align*}$$ ^[각주:2]

 

 

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2. 기수의 곱셈

 

정의($S.T$) 4-9) 기수의 곱셈
두 기수 $a,b$ 에 대하여 기수의 곱은 $ab$ 로 표기하고, $ab:=\left| A\times B \right|$ 으로 정의하며, 여기서 $\left| A \right|=a\;,\;\left| B \right|=b$ 이다.

 

합에서와 비슷하게, 두 기수의 곱을 하필 두 집합의 데카르트 곱의 기수로 정하는 것에 대해 잘 정의되는지 확인해야 합니다.

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예제 2) 기수의 곱은 잘 정의되는가?

 

sol) $a=\left| A \right|=\left| A' \right|$ 이고 $b=\left| B \right|=\left|B' \right|$ 라 하자. 두 함수 $f,g$ 를 각각 $f:A\sim A'$ 과 $g: B\sim B'$ 으로 정의하게 되면, $f\times g : A\times B \rightarrow A'\times B'$ 은 $(x,y)\mapsto (f(x),g(x))$ 으로 정의되고 정리($S.T$) 4.9) 에 의하여 이는 전단사함수이다. 그러므로 $\left| A\times B \right|=\left| A'\times B' \right|$ 가 성립하여, 잘 정의된다. $_\blacksquare$

 

 

정리($S.T$) 4.21)
① $\aleph_0\aleph_0=\aleph_0$
② $\mathfrak{c}\cdot \mathfrak{c} = \mathfrak{c}$

증명)
① $$\begin{align*} \aleph_0\aleph_0&=\left| \mathbb{N} \right|\times \left| \mathbb{N} \right|\\\\& =\left| \mathbb{N}\times \mathbb{N} \right|\\\\& =\left| \mathbb{N} \right| \\\\& =\aleph_0 \end{align*}$$ 여기서 $\left| \mathbb{N}\times \mathbb{N} \right|=\left| \mathbb{N} \right|$ 은 정리($S.T$) 4.13) 에 의한 것이다. $_\blacksquare$

② $$\begin{align*} \mathfrak{c}\cdot\mathfrak{c}&=\left| \mathbb{R} \right|\left| \mathbb{R} \right| \\\\&= \left| \left( \mathbb{R}\times \mathbb{R}\right) \right| \\\\&= \left| \mathbb{R} \right|\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;\;\;(1) \\\\&= \mathfrak{c} \end{align*}$$
여기서 $(1)$ 이 성립함을 보이기 위해 $(\mathbb{R}\times \mathbb{R})\sim \mathbb{R}$ 임을 보이는 과정이 필요하다. $\mathbb{R}\sim (0,1)$ 이므로, $\left( (0,1)\times (0,1) \right) \sim (0,1)$ 을 대신 보이자. 이것이 가능한 까닭은 정리($S.T$) 4.9) 때문이다.

i) $(0,1) \sim \left( (0,1)\times \left\{ 0.5 \right\} \right) \subseteq \left( (0,1)\times (0,1) \right)$ 가 되고,

ii) $\left( (0,1)\times (0,1) \right) \sim S\subseteq (0,1)$ 이 성립함을 보이고 싶다. 여기서 $S$ 는 $(0,1)$ 의 한 부분집합이다. 단사함수 $f:(0,1)\times (0,1)\rightarrow (0,1)$ 을 생각하면, 만일 $f$ 와 같이 단사함수를 만들 수 있기에 $\left( (0,1)\times (0,1) \right) \sim f\left( (0,1)\times (0,1) \right)\subseteq (0,1)$ 가 성립하고, 결국 i), ii) 에 의하여 각각이 서로의 부분집합과 대등하므로 $\left( (0,1)\times (0,1) \right) \sim (0,1)$ 임이 증명된다.

그러므로 단사함수 $f$ 를 잘 정의할 수 있는지 살펴보자. $f$ 의 정의역의 임의의 원소를 $(x,y)$ 라 하면 칸토어의 대각법에서 했던 것처럼 $(x,y)\in (0,1)$ 인 $x,y$ 를 무한소수로 표기해보면

$$x=0.x_1x_2x_3\cdots$$ $$y=0.y_1y_2y_3\cdots$$
이때 간단히 $f((x,y))=0.x_1y_1x_2y_2x_3y_3\cdots$ 로 정의하게 된다면

$$\begin{align*} f((x,y))=f((x',y'))\;\;&\Rightarrow 0.x_1y_1x_2y_2x_3y_3\cdots=0.x'_1y'_1x'_2y'_2x'_3y'_3\cdots \\\\&\Rightarrow x_1=x_1'\;\;,\;\;y_1=y_1'\;\;,\;\;x_2=x_2'\;\;,\;\;y_2=y_2'\;\;\cdots \\\\&\Rightarrow x=x'\;\;,\;\;y=y' \\\\&\Rightarrow (x,y)=(x',y') \end{align*}$$
이므로 $f$ 는 명백히 단사이다. $_\blacksquare$

 

 

 

정리($S.T$) 4.22) 기수의 곱에 대한 교환, 결합, 분배법칙의 성
임의의 세 기수 $a,b,c$ 에 대해 다음이 성립한다
① 교환법칙 : $ab=ba$
② 결합법칙 : $(ab)c=a(bc)$
③ 분배법칙 : $a(b+c)=ab+bc$

증명) 기수의 곱이 같을 필요충분조건은 두 집합의 데카르트 곱이 같은 것이 아니라, 대등한 것임을 떠올려보자. $\left| A \right|=a\,,\,\left| B \right|=b\,,\,\left| C \right|=c$ 라 하고 기수 곱의 정의를 생각하자. 그러면 데카르트 곱은 교환성이 없어 $A\times B\neq B\times A$ 임은 분명하지만, $A\times B\sim B\times A$ 이기 때문에 $ab=ba$ 가 된다. 또한 $\left| \left(  A\times B \right)\times C \right|\sim \left| A\times \left( B\times C \right) \right|$ 가 성립하므로 결합법칙 역시 성립하고, 분배법칙 역시 같은 원리로 성립한다. $_\blacksquare$

 

 

 

 

[참고문헌]

You-Feng Lin, Shwu-Yeng T,Lin - Set thoery

 

 

 

1. 알레프 널은 히브러이 자모의 첫째 글자이고, continum 은 연속체를 뜻합니다. 이러한 기호는 칸토어가 도입한 것으로 알려져 있습니다. [본문으로]
2. 여기서 합집합을 할 때, 으레 그랬던 것처럼 구간을 (0,1)으로 잡으면 $x=0$ 이 포함되지 않으므로, $[0,1)$ 과 같이 반열린 구간으로 잡는 것입니다. [본문으로]