이제 전기장 속에 유전체를 놓았을 때 어떤 일이 발생할지 예상할 수 있습니다. 유전체가 극성 분자 등의 영구 전기 쌍극자로 이루어져 있는 경우, 이들이 알짜 토크를 받아 전기장과 나란한 방향으로 배열될 것입니다. 반면 중성 원자나 무극성 분자로 이루어져 있다고 할지라도 유도 쌍극자가 만들어져서 외부 전기장에 나란한 방향으로 편극이 발생합니다. 이번에는 편극에 대해 자세히 분석할 것입니다.
1. 속박전하
1) 편극밀도
위에서 분석한 결과에 따라, 전기장 안에 유전체를 놓으면 그것이 중성원자나 무극성분자, 극성분자 중 무엇으로 이루어져 있던지간에 아주 많은 작은 쌍극자들이 전기장과 나란한 방향으로 늘어서게 됨을 알 수 있습니다. 바로 이 것은 이 물질이 '편극되었다(Polarized)'는 뜻이고, 이 효과의 정도를 나타내는 물리량으로 다음을 고려합니다.
'편극밀도(Polarization)' 이란 단위 부피당 쌍극자 모멘트를 말한다.
$$\mathbf{P}=\frac{\mathbf{p}}{V}\;\;\Rightarrow \;\; \mathbf{p}=\int_{\mathcal{V}}\mathbf{P}(\mathbf{r}')d\tau'$$
2) 속박전하의 정의
이제 이 편극밀도가 만들어낸 전기장과 퍼텐셜을 구하는 것이 목표입니다. 다만 전기장은 벡터이니 스칼라인 전위를 구해서 전기장과 전위의 관계를 이용해 찾는 것이 나으므로, 퍼텐셜을 먼저 구할 것입니다. 편극밀도가 만드는 퍼텐셜은 일반적인 물체의 퍼텐셜을 구하는 3차원 부피적분식을 이용하여
$$V(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathcal{V}}\frac{\mathbf{P}(\mathbf{r}')\cdot\hat{\eta}}{\eta^2}\,d\tau'\;\;\;\cdots \;\;(1)$$
로 씁니다. 그런데 이 때 분리벡터에 관한 아래의 유용한 공식을 사용합니다.
$$\nabla\left ( \frac{1}{\eta} \right )=-\frac{\hat{\eta}}{\eta^2}\;\;\Rightarrow \;\;
\nabla'\left ( \frac{1}{\eta} \right )=+\frac{\hat{\eta}}{\eta^2}\;\;\;\cdots \;\;(2)$$
그런데 그래디언트 연산자에 프라임(')을 붙인 것은 무슨 차이가 존재하는 것일까요? 프라임은 Source point 를 나타내는 벡터 r' 을 기준으로 연산을 취했음을 뜻합니다. 즉 쌍극자를 원점에 두고 셈하는 것이죠. 그러면 부호가 바뀌는데, 간단히 말하자면 $\mathbf{\eta}=\mathbf{r}-\mathbf{r}'$ 에서 $\nabla\left ( \frac{1}{\eta} \right )$ 는 $r$ 에 관해 미분을 하는 것이나, $\nabla'\left ( \frac{1}{\eta} \right )$ 는 $r'$ 에 대해 미분을 하는 것이니 부호가 반대가 될 것이라 짐작할 수 있겠지요.
그러면 $(2)$ 를 이용해 $(1)$를 다시 써 봅시다.
$$V(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathcal{V}}\frac{\mathbf{P}(\mathbf{r}')\cdot\hat{\eta}}{\eta^2}\,d\tau'=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathcal{V}}\mathbf{P}(\mathbf{r}')\cdot\nabla'\left ( \frac{1}{\eta} \right )\,d\tau'\;\;\;\cdots \;\;(3)$$
그 다음, 피적분함수를 다음의 곱셈규칙
$$\nabla \cdot \left ( \phi\mathbf{V} \right )=\nabla\phi\cdot \mathbf{V}+\phi\left ( \nabla \cdot \mathbf{V} \right )$$
를 이용해 변형할 것입니다. 대응되는 양을 적으면 $\phi=\displaystyle\frac{1}{\eta}\;,\;\nabla=\nabla'\;,\;\mathbf{V}=\mathbf{P}(\mathbf{r}')$ 입니다.
$$(\mathrm{Integrand})=\mathbf{P}(\mathbf{r}')\cdot\nabla'\left ( \frac{1}{\eta} \right )=\nabla'\left ( \frac{\mathbf{P}(\mathbf{r}')}{\eta} \right )-\frac{1}{\eta}\left \{ \nabla'\cdot\mathbf{P}(\mathbf{r}') \right \}$$
이것을 $(3)$ 에 넣고 식을 전개합니다. 그러면 식이 2개로 나누어지는데, 둘째줄에서 셋째줄로 넘어가면서 첫 항을 발산정리를 사용해 바꿉니다.
$$\begin{align*}
V(\mathbf{r})&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathcal{V}}\mathbf{P}(\mathbf{r}')\cdot\nabla'\left ( \frac{1}{\eta} \right )\,d\tau'\\\\&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left [ \int_{\mathcal{V}}\nabla'\cdot\left ( \frac{\mathbf{P}(\mathbf{r}')}{\eta} \right )d\tau'
-\int_{\mathcal{V}}\frac{1}{\eta}\left \{ \nabla'\cdot\mathbf{P}(\mathbf{r}') \right \}d\tau' \right ]\\\\&=
\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left [ \oint_{\mathcal{S}}\frac{1}{\eta}\,\mathbf{P}(\mathbf{r}')\cdot d\mathbf{a}'
-\int_{\mathcal{V}}\frac{1}{\eta}\, \left \{ \nabla'\cdot\mathbf{P}(\mathbf{r}') \right \}d\tau' \right ]
\end{align*}\;\;\;\cdots \;\;(4)$$
그런데 전기 퍼텐셜에 대한 기본 개념 설명에서, 면전하와 부피전하에 의한 퍼텐셜은 각각
$$V(\mathbf{r})=\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \,\frac{\sigma(\mathbf{r}')}{\eta}\,da' \;\;,\;\;
V(\mathbf{r})=\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \,\frac{\rho(\mathbf{r}')}{\eta}\,d\tau'$$
와 같이 표현됨을 알고 있습니다. 그러면 식 $(4)$의 두 항은 각각
$$\sigma({\mathbf{r}'})=\mathbf{P}(\mathbf{r}')\cdot \hat{n}=\mathbf{P}\cdot \hat{n}\\\\ \rho(\mathbf{r}')=\nabla \cdot \mathbf{P}(\mathbf{r}')=-\nabla \cdot \mathbf{P}$$
에 의한 전위와 같다고 할 수 있지요. 이 두 물리량을 각각 '표면속박전하밀도(Bound surface charge density)' $\sigma_b$ 와 '부피속박전하밀도(Bound volume charge density)' $\rho_b$ 로 정의합니다.
표면 속박 전하 밀도 (Bound surface charge density) : $\sigma_b=\mathbf{P}(\mathbf{r}')\cdot \hat{n}=\mathbf{P}\cdot \hat{n}$
부피 속박 전하 밀도(Bound volume charge density) : $\rho_b=\nabla \cdot \mathbf{P}(\mathbf{r}')=-\nabla \cdot \mathbf{P}$
그러므로 편극된 물체가 만들어내는 퍼텐셜은 표면속박전하밀도가 만드는 전위와 부피속박전하밀도가 만드는 전위의 합으로 생각할 수 있으며, 굳이 편극밀도를 3차원 부피적분할 필요 없이 속박전하의 값을 편극밀도로부터 구한 뒤 적분을 해서 전위를 구할 수 있게 된다는 것입니다.
3) 속박전하의 특징
속박전하는 일반전하와 다르기에 다음과 같은 몇가지 특징을 가집니다.
① 첫째, 진공에서의 가우스 법칙에 존재하는 가우스 면에 둘러쌓인 알짜 전하처럼, 실제 전기장을 만들어내는 전하와 달리 물질 안에 구속되어있고 외부 전기장 효과가 존재할 때만 편극이 발생해 생긴 전하입니다. 따라서 외부에서 편극효과가 가미되지 않는다면 편극자체가 발생하지 않으니 속박전하도 존재할 수 없습니다. 따라서 속박전하의 알짜 전하량은 0입니다.
$$\oint_{\mathcal{S}}\sigma_b \,d\mathbf{a}'+\int_{\mathcal{V}} \rho_b \, d\tau'=0$$
② 두번째로는 속박전하에 관련된 여러 문제에서 '고르게 편극된(polarized uniformly)'라는 말이 종종 등장합니다. 이는 물질의 전체적인 편극 정도가 방향과 부분에 무관하게 균등히 일어났다는 것으로 편극밀도 P가 일정한 상수값을 가짐을 뜻합니다. 따라서 부피속박전하밀도의 값은 P의 발산이므로
$$\rho_b=-\nabla \cdot \mathbf{P}=0$$
이 되어, 표면속박전하밀도에 의한 퍼텐셜만 계산하면 됩니다.
③ 셋째, 모든 편극은 당연히 물질 내부에서만 발생하니 물질 외부에서는 속박전하가 없습니다. 속박전하는 말그대로 '속박(bounded)' 되어있기 때문에 물질 안에 묶여 있는 것입니다. 주의할 점은 속박전하에 의한 전기장 효과가 물질 외부에서 없다는 것이 아니라, 물질 밖에서는 속박전하가 존재하지 않는다는 것입니다. 예를들어 구에 대해 전기 변위장 등을 계산할 때 공 외부에서는 $\mathbf{P}=0$으로 두어야 한다는 것입니다.
[참고문헌]
David Griffiths - Introduction to Electrodynamics, 4e
댓글