2021학년도 수능 수학 가형 21번 해설

 

솔직히 어이가 없네요. 21번이 이렇게 쉬울 줄도 몰랐고, 심지어 이 문제는 문과 학생들이 치르는 (나)형 21번과 조건 (가),(나)가 똑같습니다. 구하는 것만 좀 다릅니다. 가장 큰 문제는 풀이방법이 정말 단순하게 열심히 숫자 대입만 하면 된다는 것입니다... 근 6년간 이런 21번 문제는 처음봅니다. 아무리 수열이라고는 하지만, 그저 대입만 해서 숫자를 구하는 건 너무 허무하지 않나요.. 

 

처음엔 쉽다고 생각했으나 다 풀고 나니까 21번도 기여한 문항배치에 문제점이 너무 많아 수학 (가)형은 어렵습니다. 통상적으로 '풀리던' 번호대에서 막혔을 것 같고, 긴장되는 시험장에서는 한 문제가 막히면 끝까지 계속 막힙니다. 그러면서 풀 수 있는 문제도 못 풀었을 것이고, 이미 시간을 낭비했다는 압박감 속에서 이것도 저것도 못하며 종이 칠 때까지 답을 못 구했을 겁니다.이 정도가 되면 잘 찍은 사람이 석차 몇천등, 몇만등은 더 올렸을 겁니다. 이런 시험지를 볼 때마다 평가원이 미워집니다.

 

못 풀었다고 해도 좌절하지 말고 자신을 다독여 줍시다. 틀린 문제는 여러분의 노력이 부족했음을 말하는 것이 아닙니다.

 

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조건 (가), (나)를 보면 우변의 첫 항이 동일하므로, 변변 빼봅시다. (나)에서 (가)를 빼면

 

$$a_{2n+1}-a_n=-3\;\;\cdots\;\;(1)$$

 

그 다음, 박스 밖의 조건을 보면 $a_8$과 $a_{15}$가 있으니 두 항이 나올 때까지 그냥 계속 $n$에 숫자 대입만 하면 됩니다.

 

$$n=1\;\rightarrow\; a_2=a_2a_1+1$$

$$n=2\;\rightarrow\; a_3=a_2a_1-2$$

 

이렇게 $n$에 연속된 자연수 두 개를 넣은 다음, 변변 빼면 다음과 같은 식들을 얻습니다.

 

$$a_3-a_2=-3$$

$$a_5-a_4=-3$$

$$a_7-a_6=-3$$

$$a_9-a_8=-3\;\;\cdots\;\;(2)$$

$$a_{11}-a_{10}=-3$$

$$a_{13}-a_{12}=-3$$

$$a_{15}-a_{14}=-3\;\;\cdots\;\;(3)$$

 

$(2)$와 $(3)$을 더합니다.

 

$$a_{15}-a_{8}+a_{9}-a_{14}=-6=a_{9}-a_{14}-63$$

$$a_9-a_{14}=-57\;\;\cdots\;\;(4)$$

 

여기에서 막힌 학생들이 있다면... 수열의 n항을 귀납적으로 찾을 때 가장 골치아픈 건 공식을 사용할 수 없는 첫항입니다. 즉 $a_n$을 구할 때 가장 중요한 게 수열의 처음인 $a_1$이죠. 이 문제에서는 $a_1$의 조건을 어디서 구할까요? 바로 (가)에 $n=1$을 대입하는 겁니다.

 

$$a_2=a_2a_1+1\;\;\rightarrow\;\;a_1=1-\frac{1}{a_2}$$

 

여기서 $a_2=\frac{1}{1-a_1}=k$ 라고 합시다. 즉 $a_2$를 간단하게 $k$로 쓰겠다는 겁니다. 왜냐하면 $(4)$의 두 항을 귀납적으로 계숙 숫자를 다운시키다 보면 $a_2$를 만날 것이 자명하기 때문입니다.

 

 

i) $n=4$를 대입하여 $a_9$ 를 구합니다.

 

$a_9=a_2a_4-2$ 이고, $a_4=a_2^2+1=k^2+1$ 이므로 $a_9=k^3+k-2$ 입니다.

 

 

ii) $n=7$을 대입하여  $a_{14}$ 를 구합니다.

 

$a_{14}=a_2a_7+1$ 이고, $$a_7=a_2a_3-2=a_2(a_2a_1-2)=a_2\left \{ k\left ( 1-\frac{1}{k} \right )-2 \right \}
=k^2-3k-2$$ 이므로 $$a_{14}=k^3-3k^2-2k+1$$ 입니다.

 

다시 $(4)$로 돌아가 마무리를 해봅니다.

 

$$a_9-a_{14}-60=0$$

$$3k^2+3k-60=0\;,\;k^2+k-20=0\;\;\rightarrow\;\;k=-5\;,\;4$$

 

발문에서 $a_1$이 양수라고 했으니 $a_2=k$ 또한 양수가 되어야 하므로, $a_2=4$ 입니다. 따라서

$$a_1=1-\frac{1}{a_2}=\frac{3}{4}$$

 

마지막으로 $a_8$만 구하면 되겠죠?

$$\frac{a_8}{a_1}=\displaystyle\frac{a_2a_4+1}{\displaystyle\frac{3}{4}}=\frac{4\times 17+1}{
\displaystyle\frac{3}{4}}=\frac{69\times 4}{3}=92$$