2021학년도 수능 수학 가형 30번 해설

30번 문항 역시 어렵습니다. 그런데 이번 30번의 특징은 꽤나 특별합니다. 이런 류의 문제는, 수학을 정말 잘하는 최상위권은 오히려 금방 풀어내는 문제지만, 다수의 학생들은 건드려볼 시간도 없었을 것이고 풀어내기 까다롭습니다. 게다가 마지막에 $f(x)$ 를 결정하는 식 세우는 방법이 일종의 테크닉인데, 최근 기출문제에서도 제 기억이 맞다면 2020학년도 6월 평가원 (가)형 21번에 쓰였던 것 말고 없었던 것 같습니다. 이 때문에 시험장에서 30번을 맞았다면 거의 1등급일 가능성이 농후할 듯 싶습니다. 총체적으로 이번 수학 (가)형은 어려운 시험이 맞습니다. 시간이 흐름에 따라 서서히 수능 난이도도 상향 평준화 되는 듯 합니다.

 

 

1. (가) 조건

 

(가)조건에 의하면 실수 전체에서 정의된 함수 $g(x)$의 극대가 되는 $x$의 개수가 열린구간 $(0,1)$에서 $3$이라 했으니, 일단 미분을 해봐야 합니다.

 

$$\begin{align*} g'(x)=f(\mathrm{sin}^2\pi x)&=f'(\mathrm{sin}^2\pi x)\,2\,\mathrm{sin}\pi x \cdot \mathrm{cos}\pi x\cdot \pi   
\\&=\pi f'(\mathrm{sin}^2\pi x)\,\mathrm{sin}2\pi x \end{align*}$$

 

극대를 찾기 위해 $g'(x)=0$ 이 되는 $x$값을 찾아야겠죠? 일단 함수를 두 부분으로 쪼갰을 때 $\mathrm{sin}2\pi x=0$ 을 먼저 조사하면, 이는 주기가 $1$인 사인함수이므로 아래 [그림 1]과 같이

 

[그림 1]

 

$x=\displaystyle\frac{1}{2}$ 에서 부호가 한 번 바뀝니다. 그런데 극대가 되는 $x$의 개수가 3이라고 했네요. 극대는 증가하다가 감소하는 곳에서 발생하므로, 다시말해 도함수의 부호가 양수에서 음수가 될 때에 해당합니다. 이를 만족하기 위해서는, 도함수의 부호가 $$+\rightarrow -\rightarrow + \rightarrow - \rightarrow + \rightarrow -$$
로 증가 - 감소 - 증가 - 감소 - 증가 - 감소로 5번이 바뀌어야 합니다. 따라서 도함수를 그렸을 때 도함수의 근(중근이 아닌 근)이 5개 존재한다는 뜻이죠. 그런데 $g'(x)$에서 우리는 $x=\displaystyle\frac{1}{2}$ 하나만 찾았으니, $f'(\mathrm{sin}^2\pi x)$ 에서 4개의 근이 나와야 한다는 결론을 얻습니다.

 

 

$f'(\mathrm{sin}^2\pi x)=0$ 이 되는 $x$값은 당연하게도 치환(Substitution)을 사용해야 합니다. 치환은 수학에서 손에 꼽힐 정도로 아주 강력한 도구입니다. 고등학교 수준에서는 합성함수가 나왔을 때 십중팔구 치환을 이용하는게 짱입니다. 이번 수능 28번 문제도 합성함수이고, 30번도 합성함수입니다. 모두 치환을 이용해서 풀어야 하는 문제이지요. 치환을 할 때는 근의 모양과 범위가 바뀐다는 사실만 주의깊게 기억하고 사용하면 됩니다. 치환 후에는 다음과 같이 이차함수의 $x$절편을 찾는 문제로 귀결됩니다.

$$f'(\mathrm{sin}^2\pi x)=f'(t)=0$$
$f(x)$가 최고차항 계수가 1인 삼차함수라 했으니, $f'(x)$는 최고차항 계수가 3인 이차함수입니다. 이 때 이차함수의 근은 $t=\mathrm{sin}^2\pi x$ 이고 $x$의 값이 4개가 나오려면, $f'(t)=0$이 서로 다른 두 실근을 가져야만 함을 알 수 있습니다. $f'(t)=0$이 허근을 가지면 $x$가 존재하지 않고, 중근을 가지면 $x$가 최대 2개까지밖에 안나오기 때문이죠. $f'(t)=0$의 두 근을 $t_1,t_2\;\;(t_1<t_2)$ 라 하겠습니다. 그 때 $x$를 찾으면, 아래 [그림 3]과 같이 4개가 등장하고 각각을$\alpha\,,\,\beta\,,\,1-\alpha\,,\,1-\beta $ 라 합시다.

 

[그림 2] (왼쪽) 과 [그림 3] (오른쪽)

 

이 때 [그림 3]에도 써 두었지만 함수 $\mathrm{sin}^2\pi x $ 를 그릴 때에는 삼각함수 두배각 공식에 의하여 

$$\mathrm{sin}^2\pi x=\frac{1-\mathrm{cos}\,2\pi x}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\,\mathrm{cos}\,2\pi x$$

로 나타내는 것이 빠르고 정확합니다. 보면 함수값이 $(0,1)$에서 모두 양수이고 4개의 근이 나오며 중앙이 $x=\displaystyle\frac{1}{2}$이니, $\alpha\,,\,\beta\,,\,1-\alpha\,,\,1-\beta $ 와 더불어 $g(x)$와 $g'(x)$를 완성해보면

 

[그림 4]

가 됩니다. 이 그림에서 $\beta$와 $1-\beta$ 는 열린구간 $(0,1)$ 안에 있다는 점은 주의해야 합니다. 그러면 극댓값이 곧 최대값이 되므로

 

$$g(\alpha)=g(1-\alpha)=g\left ( \displaystyle\frac{1}{2} \right )=\displaystyle\frac{1}{2}=f(1)$$

가 되어

$$g(\alpha)=f(\mathrm{sin}^2\pi \alpha)=f(t_1)=\displaystyle\frac{1}{2}
\\\\f(1)=\displaystyle\frac{1}{2}$$

 

를 얻습니다. 그런데 이 $t_1$이라는 점은 위에서$f'$의 $x$절편이기도 하니, $t_1$은 $f(x)$의 극값 중 하나고 정확히는 $t_1 < t_2$ 이므로 $t_1$에선 극대값입니다. 여기까지의 $f(x)$ 에 관한 조건

 

$$f(t_1)=\displaystyle\frac{1}{2}=f(1)\;\;,\;\;f'(t_1)=f'(t_2)=0\;\;\left ( t_1<t_2 \right )$$

 

만으로 $f(x)$의 간략한 개형을 그릴 수가 있습니다. 근데 이 기술을 확실히 아는 학생이... 글쎄요, 중위권 학생들이 하기에는 까다로운 테크닉을 가진 문제란 것입니다. 자주 출제되는 것도 아니고 정말 가끔씩 나옵니다. 바로 직선이 다항함수를 관통할 때 식 세우는 법인데,

 

$$f(x)=(x-t_1)^2(x-1)+\displaystyle\frac{1}{2}$$

 

와 같이 쓸 수 있습니다.

 

[그림 5]

 

이것을 해석하자면 $x=t_1$과 $x=1$을 공통으로 지나가는 가로축을 그린 다음, 그것을 $x$축이 아닌 $y=\displaystyle\frac{1}{2}$ 을 쓰는 것입니다. 그러면 이렇게 그린 위의 [그림 5]와 같은 삼차함수를 $-y$축 방향으로 $\displaystyle\frac{1}{2}$ 만큼 내리고 그것을 $x$축으로 바꾸면 $f(x)$의 개형이 완성되는 겁니다. 그러면 $t_1$과 $t_2$의 관계는

 

$$f'(x)=2(x-t_1)(x-1)+(x-t_1)^2=(x-t_1)(3x-2-t_1)=(x-t_1)(x-t_2)$$

에서

$$t_2=\displaystyle\frac{t_1+2}{3}$$

---

2. (나) 조건

 

여기까지 하면 다 왔는데 마지막 관문이 기다리고 있습니다. 안 쓴 조건 (나)이며 $g(x)$의 최솟값을 찾아야 합니다. [그림 4]를 보면 $g(x)$의 최솟값은 최대·최소의 정리에 의하여 극솟값이거나 구간 양 끝이어야 합니다. (극댓값은 열린구간$(0,1)$에 있다고 하였지만 최솟값은 $g$가 실수 전체 집합에서 정의되었으니, 닫힌구간 $[0,1]$ 즉 양 끝 점 $x=0,x=1$까지 고려해야 합니다) 

 

 

i) $g(x)$의 최솟값이 극솟값일 때

 

$$g(\beta)=f(\mathrm{sin}^2\pi \beta)=f(t_2)=0$$

이 말은 $f$가 $t_2$에서 접한다는 겁니다. 개형은 무시하고 식 계산을 해보면

 

$$f(t_2)=\left ( \displaystyle\frac{t_1+2}{3}-t_1 \right )^2\left ( \displaystyle\frac{t_1+2}{3}-1 \right )+
\displaystyle\frac{1}{2}=0\;\;\Rightarrow\;\;t_1=-\frac{1}{2}$$

 

그러나 이는 $0<t_1<1$ 를 만족시켜야 하는 조건에 위배되므로, 답에 해당되는 상황이 아닙니다. 

 

 

ii) $g(0)$이 최솟값일 때

 

위에서 실패를 겪었으니 이게 답이라는 걸 알 수 있지요.

$$g(0)=0$$

으로부터

$$f(0)=0\;\;\;\Rightarrow\;\;-\,t_1^2+\displaystyle\frac{1}{2}=0\;,\;t_1=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}}$$

 

가 나옵니다. 원래 $\pm \sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}}$ 로 두 개 나오나 $0<t_1<1$ 를 고려하면 양수만 가능합니다. 

 

따라서 ii)가 원하는 상황이고 $f(x)$를 완성했으니, 구하고자 하는 값 $x=2$만 넣어주면 끝납니다.

 

$$f(x)=\left ( x-\sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}} \right )^2(x-1)+\displaystyle\frac{1}{2}
\\
f(2)=\left ( 2-\sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}} \right )^2(2-1)+\displaystyle\frac{1}{2}=5-2\sqrt 2=a+b\sqrt 2
\\a^2+b^2=29$$

 

개인적으로 이 문제는 20번보다 조금 더 어렵다 느낍니다. (가)조건에서 근이 5개 나온다는 것까진 쉽습니다. 그런데 다항함수를 뚫고 지나가는 직선에 관한 식을 세우는 테크닉이나, (나)조건을 해체할 때 경우의 수를 2가지로 나눠야 하고 보통은 극솟값에서 최솟값이 나오는 경우가 많은데, 양 끝점에서 최솟값이 나왔다는 점을 미루어 보았을 땐 상당히 난해하고, 생소한 문항이 아닌가 싶습니다. 요근래 절대 못풀게 내는 30번 급에는 약간 미치지 못하지만, 적어도 이 시험에서 30번은 1등급 학생들이 푸는 밥값은 제대로 하는 문제가 아닌가 합니다.