2021학년도 수능 수학 가형 28번 해설

이번 수능 28번은 역함수의 합성함수에 관한 문제인데 실제 시험장이었다면 많이 당황했을 법한 문제입니다. 일단 28번에 출제되었던 역사상의 문제와 비교했을 때 난이도가 제법 높은 편이며, 식을 다루는 정확한 기술을 알지 못하면 중간에 막혀 시간을 낭비시키고, 집중력을 흐트려 놓았을 가능성이 높습니다.

 

이 문제가 주는 교훈은, 문제에 대한 난이도를 떠나서 문제를 풀다 막혔을 때 당황하지 않고 나아가는 훈련이 매우 매우 중요하다는 것입니다. 아마 수능 직전에 실전 모의고사를 많이 푸는데, 실전 모의고사는 물론 많이 맞는 것도 중요하지만 실제 시험장에서는 긴장감과 당황스러움을 떨쳐 내는 것이 진짜 실력을 끌어올리기 위한 전초전입니다. 이러한 준비와 자세는 비단 수험생 뿐만 아니라 앞으로 모든 시험 속에서, 심지어 결승전을 앞두는 프로게이머도, 운동선수에게도 통용되는 사실이며 항상 실전에 앞서 갖추어야 할 능력입니다.

 

공부를 정말 많이 했다고 생각했는데 시험을 망친 학생들 중에서도 분명 침착하게 멘탈 관리를 했다면 실력을 끌어올리고, 실수를 줄이고, 고요한 정신집중을 했다면 충분히 풀 수 있었을지도 모릅니다. 시험지의 몇몇 문제는, 이번 수능을 치렀던 수험생들도 집에 가서 다시 풀면 풀린다는 사실을 직감할 때 이것의 속뜻을 이해할 수 있을 겁니다.

 

1. 합성함수를 다루는 기본 방식은 치환이다.

 

기본적인 분석을 하면 $f(x)$는 $x$절편이 $a,b\;(a<b)$ 이고 $b$에서는 접하는 삼차함수입니다. 반면 $g(x)$ 역시 삼차함수지만 우리는 $g(x)$ 자체가 아닌 그것의 역함수가 합성된 함수 $h(x)$를 분석해야 합니다. 이 문제의 핵심은 다음과 같습니다.

 

① $g^{-1}(x)$  를 어떻게 처리할 것인가?
② $h(x)$가 미분 가능하려면 어떻게 해야 하는가?

 

이 문제는 ②, 즉 (가)조건이 어렵다고 생각할 수 있으나 핵심은 그것이 아니라 역함수 꼴로 제시된 ①을 분석하는 것이 훨씬 중요하며 이 $g^{-1}(x)$의 처리를 제대로 하면 나머지는 식은 죽 먹기입니다.

 

30번 문항 해설에서도 언급했는데, 고등학교 수학에서 합성함수가 나오면 치환이 아주 강력한 무기입니다. (치환적분법이 합성함수의 미분법으로부터 유도된다는 것을 떠올려 보기 바랍니다.) 절대 너저분하게 치환하지 않고 합성함수를 막 다 써서 풀면 안됩니다. 따라서 $h(x)$의 안쪽 $g$의 역함수를 치환할 것이긴 한데 총 2번의 치환을 할 것이나 우선 더 쉬워보이는 (나)조건을 적용하기 위해 함숫값을 대입하기 좋은 꼴인

$$g^{-1}(x)=u(x)$$

으로 치환해봅시다. 역함수를 일단 독립변수 $x$에 관해서 나타내고 싶기에 위의 $-1$을 떼고 $x$에 관한 함수이다, 를 지시할 목적으로 $u(x)$으로 치환을 한 번 하겠다는 말입니다. 그러면 (나)조건을 적용하기가 쉬워집니다.

 

$$h(x)=f\left ( u(x) \right )\;\;\rightarrow\;\;h'(x)=f'\left (u(x) \right )u'(x)$$
$$h'(3)=8=f'\left ( u(3) \right )u'(3)=f'\left ( g(1) \right )\frac{1}{g'(1)}$$
$$\therefore f'(1)=8$$

---

2. (가)조건 분석 : 새로운 치환

 

(가)의 분석이 어려운 이유는 절댓값 함수의 미분가능성을 따지는 것보다는 저 $$(x-1)\left | h(x) \right |$$

라는 함수를 어떻게 정리할지 난감하기 때문입니다.

 

일단 저는 여기까지 놓고 보았을 때 바로 $x$가 어디서 미분가능해야하는지 깨닫지 못했기 때문에 대수적으로 직진했습니다. 그 방법은 바로 또 치환을 이용하는 것인데요, 왜냐하면 위에서 치환한 것으로는 불충분하기 때문입니다. 우리는 $g(x)$의 역함수를 다루어야 하는데 원래 역함수는 $y$와 $x$를 바꾸어서 만든다는 것이 기초 개념이지요? 그러나, $g(x)=x^3+x+1$은 $y$와 $x$를 바꾼다 하더라도 다음과 같은 지저분한 꼴이 되어서 $y$에 대해 정리를 할 수가 없습니다.

$$x=y^3+y+1$$

그렇다면 이 때는 단순히 $y$와 $x$를 바꾼다고 문제가 전혀 해결되지 않습니다. 그때 막힌 길을 뚫어줄 시원한 방법은 바로 $y=t$라고 치환을 다시 하고 $t$에 관한 함수를 보는 것입니다! 

 

물론 $y$ 자체로 놓고 보면 안되냐? 라고 반문할 수 있는데 논리적으로는 문제가 없으나, 사람이 적어도 19년동안 수학공부를 했으면, $y$라는 문자를 보면 직관적으로 '종속변수'라고 생각하기 마련입니다. 그러니 새로운 독립변수를 $t$라고 생각한 다음 구하는 함수를 $t$에 관한 함수로 바꿔 생각하는 것이 적절하지, $y$와 $x$의 자리를 바꾼 다음 다시 $y=u(x)$꼴로 변형하지 못하는 역함수 문제에 대해서는, 할 수 없는 행위에 집착해서 매달리지 말고 반드시 치환을 해 새로운 문자에 대한 함수로 보라는 뜻입니다. 

 

그러면 $$x=y^3+y+1\;\;\Rightarrow\;\;x=t^3+t+1
\\\\ \therefore\;\;(x-1)=t^3+t$$

그러면 마법같이 (가)조건의 절댓값 앞 함수가 해결됩니다. 동시에 절댓값 안의 $h(x)$ 역시 이제 억지로 $x$에 관한 함수로 바꾸지 않고 $h(t)$로 처리가 가능해집니다.

$$h(x)(x-1)\left | h(x) \right | 
=\left ( t^3+t \right )\left | (t-a)(t-b)^2 \right |=t\left ( t^2+1 \right )\left | (t-a)(t-b)^2 \right |$$

---

3. 절댓값 함수의 미분 가능성은 반드시 $x$절편에 주목하자.

이건 기출문제를 공부했다면 반드시 알아야 하는 내용으로, 출제된 적이 매우 많습니다. (2011학년도 수능 24번, 2018학년도 9월 모의평가 30번 등) 절댓값 함수는 $x$축 아래를 꺾어 위로 올린 함수이므로, 뾰족하게 꺾이는 첨점이 발생하는 지점이 $x$절편이기 때문에 이곳에서 미분이 불가능할 가능성이 가장 높기 때문입니다.

 

주어진 함수는 $t$에 관한 함수이니 $t$절편을 봐야 합니다. 절댓값 앞쪽에서 $t=0$의 $t$절편이 있고 추가로 절댓값 안의 $f(t)$에서 $t=a,b$의 $t$절편이 있습니다. 편의상 조사하는 함수를 $R(t)$라 놓으면

 

$$R(t)=t\left ( t^2+1 \right )(t-b)^2\left | (t-a) \right |= 
\left ( t^2+1 \right )(t-b)^2\times t\left | (t-a) \right |$$

 

인데요, 어차피 완전제곱이나 제곱항을 포함하는 녀석들은 부호에 영향을 안주니 무시하면, 부호의 영향을 받아 미분가능하지 않을 수 있는 두 파트는 $t\left | (t-a) \right |$ 가 되어 이것이 미분 가능 하려면 $a=0$ 이 되어야 겠죠? 그렇지 않으면 $t=a$에서 절댓값 때문에 꺾인 뾰족한 점이 되어 미분가능하지 않기 때문입니다.

 

 

[그림 1]

 

간단히 그림을 그려보면 저렇게 $t=b,t=0$에서 접하는 사차함수와 유사하게 생겼을 것입니다. 아무튼 (나)에서 구한 $f'(1)=8$을 이용하면

$$f'(1)=8=\left ( 1-b \right )^2+2(1-b)\;\;\rightarrow\;\;b=5\;\;\mathrm{or}\;\;-1$$

그러나 문제 조건에서 $b>a$ 이므로 $b=5$이고, 따라서 문제의 답은

$$f(8)=8(8-5)^2=72$$