2021학년도 수능 수학 가형 20번 해설

2021학년도 수능 수학 (가)형 30문항 중 30번을 제외하고 가장 어려운 문제는 20번인 것 같습니다. 이는 여태까지 30번 다음으로 21, 29가 어려웠다는 역사적 전통을 정면으로 깨부수었다는 것에서 충격을 금할 수 없습니다. 게다가 21번은 평범한 4점 수준으로 난이도가 급락했고 18, 19, 27의 준킬러 문제와 더불어 킬러라고도 불릴 정도의 난이도를 갖춘 20번, 28번, 29번이 이번 시험의 분수령인 것 같습니다.

 

20번은 미적분 문항으로, 발견적 추론을 시행해야 하는 문제로서 개인적으론 28번보다 어렵게 느껴졌습니다. 계속해서 함수를 그리고 스스로 조건을 만족할 수 있는 상황이 무엇인지 고찰을 해야 합니다. 이런 문제는, 해설지를 보더라도 단번에 이해하기가 어렵지요. 해설지를 보면 난잡한 수식 전개로 문제를 풀어가는데, 그것이 해설지의 한계기는 하지만 정작 시험장에서 풀 수 있는 방법과는 거리가 있어 보입니다. 어떻게 접근하면 좋은지, 천천히 풀어가 보도록 하겠습니다.

 

 

1. $g(x)$의 조건

 

풀이를 시도해 보신 분들은 아시겠지만 이 문제를 어렵게 만드는 키포인트는 $g(x)$ 입니다. 사실 $g(x)$가 어떻게 생겨먹었는지만 떠올리면 그렇게 어렵지는 않지만, 그걸 상상해 내는 것이 매우 까다롭습니다. 게다가, 제 기억으로 함수의 연속이 오랜만에 이렇게 고난이도 문제에 껴서 나온건 극히 드물었던 것 같습니다.

 

$f(x)$는 삼각함수이고, $g(x)$는 $g:X\rightarrow \left \{ 0,1 \right \}$ 로 치역의 원소가 $0, 1$ 뿐인 함수입니다. 대략 생각해보면 불규칙적으로 점이 찍히지는 않을 것이라 계단함수(가우스 함수처럼)와 같이 생겼을 것이라 잠깐 떠올려 보았을 수는 있습니다.

 

박스 안을 보면 많은 학생들이 두번째 줄의 적분식에 매달렸을 것 같습니다. 그러나 $g(x)$에 대한 정보를 얻기 위해서는 첫번째 줄에 있는 조건이 매우 중요합니다. 조건을 보면 $h(x)=f(nx)g(x)$ 가 실수 전체의 집합에서 연속이라 말하고 있습니다.

 

연속함수와 연속함수의 곱은 연속함수입니다. 이 관점에서 우선 보면, $h(x)$는 $f(nx)$와 $g(x)$의 곱인데 $f(nx)$는 이미 삼각함수니까 실수 전체에서 연속입니다. 그런데, $g(x)$는 치역의 원소가 2개 뿐이고 공역이 아니라 치역이니까, 모든 실수 $g(x)$에 대해 함숫값이 2개 뿐이어야 하니 절대 실수 전체에서 연속이 될 수가 없습니다.  즉 $g(x)$가 연속함수가 되도록 억지로 만드는 것은 불가능하다는 겁니다. 이럴 때는 어떻게 해야 두 함수의 곱이 연속이 될까요? 바로 $g(x)$가 불연속인 지점을 찾아 $f(nx)$의 힘을 빌려 연속으로 만들면 됩니다. (그러면 어떤 점을 찾아야 할지 먼저 고민해보세요)

 

$g(x)$가 불연속인 지점은 바로 $g(x)=1$과 $g(x)=0$이 갈리는 지점일 겁니다. 이와 같이 함숫값이 갈리는 지점에서는, $g(x)$가 절대로 연속일 수 없으니, 이런 $g(x)$가 불연속인 지점을 $f(nx)$로 커버치려면, $f(nx)$가 $0$인 지점을 찾아야 합니다. 

 

$$f(nx)=\pi sin2n\pi x=0\;\;\rightarrow \;\; x=\frac{1}{2n},\,\frac{2}{2n},\,\frac{3}{2n},\,\cdots
\,,\,-\frac{1}{2n},\,-\frac{2}{2n},\,-\frac{3}{2n},\,\cdots$$

 

$\;\;\rightarrow x=\displaystyle\frac{k}{2n}$  ($k$는 $-2n\leq k\leq 2n$ 인 자연수)

 

이와 같은 추론 하에서, 두 함수의 곱의 연속성을 따져봅시다. 저는 다음과 같은 '표 그리기' 방법을 통해 함수의 곱의 연속성을 판단합니다. 아래 표에서 가장 왼쪽 열의 두번째, 세번째, 네번째 열은 각각 우극한(+), 좌극한(-), 함숫값 입니다. 연속의 정의는 우극한=좌극한=함수값이니 이를 따지자는 것입니다.

 

i) 먼저 $f(nx)=0$ 인 지점을 생각해 봅시다. 그 지점은 $x=\displaystyle\frac{k}{2n}$ 이라서

 

$x$	$f(nx)$	$g(x)$	$h(x)=f(nx)g(x)$
$\displaystyle\frac{k}{2n}$ +	$0$	$0,1$ 중 아무거나	$0$
$\displaystyle\frac{k}{2n}$ -	$0$	$0,1$ 중 아무거나	$0$
$\displaystyle\frac{k}{2n}$	$0$	$0,1$ 중 아무거나	$0$

 

바로 이 점이 효자 노릇을 한다 이 말입니다. 왜냐? $g(x)$가 어떻게 생겨먹었던지간에, 다시말해 $g(x)$가 끊어져 불연속이더라도 둘의 곱이 항상 0이 나와 $h(x)$가 연속임을 보장합니다. 그러니 $g(x)$의 함숫값이 0에서 1로, 또는 1에서 0으로 바뀌어야 한다면 반드시 그 점은 $x=\displaystyle\frac{k}{2n}$ 이어야 합니다!

[그림 1]

ii) 이 외에 또 $g(x)$가 불연속이 되어도 허용 가능한 점이 있을까요? 찾아보면 없다는 결론이 나올겁니다. 왜냐하면 $x\neq \displaystyle\frac{k}{2n}$ 즉 $f(nx)\neq 0$인 지점에서는 $f(nx)=p$ ($p$는 어떤 수로 $f(nx)$의 함숫값을 말함)라고 하면, 위의 [그림 1]의 초록색이 바뀌는 지점처럼 $g(x)$의 우극한과 좌극한이 다릅니다. 함숫값은 둘 중 임의의 하나와 같을 것이고요. 그러면 연속 계산을 해봤을 때

 

$x$	$f(nx)$	$g(x)$	$h(x)=f(nx)g(x)$
$\displaystyle\neq \frac{k}{2n}$ +	$p$ $\neq 0$	$1$	$p$
$\displaystyle\neq \frac{k}{2n} -$	$p$	$0$	$0$
$\displaystyle\neq \frac{k}{2n}$	$p$	$0$	$0$

 

의 결과가 나와, $h(x)$는 불연속이 됩니다.

 

이로부터 알 수 있는 사실은 $g(x)$의 함숫값이 $f(nx)=0$이 되는 $x$값인 $x\neq \displaystyle\frac{k}{2n}$ 에서만 바뀐다는 것입니다.

---

2. 적분 조건

 

이제 박스 안의 적분 식을 분석해 봅시다. $f(nx)$를 그리면 최대와 최소가 각각 $\pi,\,-\pi$이고 주기가 $\displaystyle\frac{1}{n}$ 인 함수이므로

 

[그림 2]

이렇게 생겨먹었지요. 양의 방향과 음의 방향으로 각각 $\displaystyle\frac{1}{n}$을 $n$칸씩 그리면 박스 적분의 위끝과 아래끝인 $1,-1$을 발견할 수 있습니다. 그리고 $f(nx)$가 반주기동안 그리는 면적의 넓이까지만 구해 놓읍시다.

 

$$\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2n}}f(nx)dx=\int_{0}^{\frac{1}{2n}}\pi\,\mathrm{sin}(2n\pi x)\,dx
=\frac{1}{n}$$

 

 

① 박스 안의 첫 적분을 보면,

 

$$\displaystyle\int_{-1}^{1}h(x)dx=\displaystyle\int_{-1}^{1}f(nx)g(x)dx=2$$ 

 

이라 하고 있습니다. 일단 위 [그림 1]에서 보이는 것처럼 $f(nx)$를 그렸다면 $h(x)$의 적분은

 

$$\displaystyle\int_{0}^{1}h(x)dx=\displaystyle\int_{-1}^{0}h(x)dx=1$$

 

라는 사실을 빨리 낚아채야 합니다. 이렇게 되지 않으면, 적분값이 $2$가 나온다는 사실을 만족할 수 없습니다. $x>0$에서 정적분 값 $1$이 나오고 또 반대로 $x<0$에서 $1$이 나온다는 것이죠. $x>0$에서 반주기의 적분이 $\displaystyle \frac{1}{n}$ 이고 그게 $n$번 존재한다는 사실로부터 추론한 것이죠.

 

이러한 풀이법이 이 문제의 난이도를 향상시키는 겁니다. 어떤 식을 세우고 그 식을 따라 풀어나가면 답을 얻는 것이 아니라, 특정 상황에 대한 조건만 훅 던져놓고 그 조건을 만족하는 경우를 내가 하나하나 상상하고 검증해가며 답의 경우의 수를 찾아야 하기 때문입니다. 이걸 저는 '발견적 추론'이라고 합니다. 마치 수열에서 항들을 찾아 일반항을 예측하는 것처럼, 특정 경우를 하나하나 생각해보면서 답에 근접하는 사고 과정을 거쳐야 한다는 겁니다.

 

그렇다면, $g(x)$는 이제 $f(nx)$가 양수의 함숫값을 갖는 구간에서 $g(x)=1$이 되고, 음의 함숫값을 갖는 구간에서 $g(x)=0$ 이 되어야 한다는 임무를 부여받습니다. 따라서, $g(x)$는 다음과 같습니다,.

 

$$g(x)=\left\{\begin{matrix}
\;\;1\;\;\;(f(nx)> 0)     \\ 
\;\;0\;\;\;(f(nx)\leq  0)
\end{matrix}\right.$$

 

② 이를 바탕으로 박스 안의 두번째 적분 조건을 봅시다.

 

$$\displaystyle\int_{-1}^{1}xh(x)dx=-\frac{1}{32}$$

 

이 식의 핵심은 첫번쨰, 피적분함수는 $h(x)$에 $x$의 곱을 추가시켰다는 것이고 두번째, 우변에 음수가 있다는 것입니다.

 

먼저 $xh(x)$가 어떻게 그려질지를 생각해야 합니다. $g(x)$는 이미 아는 상황이니까 $xf(nx)$만 생각하면 되는데, 이 그래프를 상상하는 것도 사실 평상시에 비슷한 문제를 풀어봤던 경험이 없으면 시험장에서 당황했을 겁니다. 운이 좋게도 저 또한 삼각함수에 $x$가 곱해진 함수의 모양을 그럴듯하게 유추했던 기억이 있었습니다. $y=x$는 $x$의 값이 커질수록 $y$가 커지므로, $xf(nx)$는 $f(nx)$를, $x$가 증가할수록 $y$값을 위 아래로 잡아당긴 꼴입니다. 즉 더 커지는 $x$에 대해서 $f(nx)$의 최대값이 증가하는 개형이지요.

 

또 한가지, $y=x$는 $x<0$에서 당연하게도 음수이기 때문에, $f(nx)$의 $x<0$ 부분은 $x$축에 대해서 대칭시켜야 합니다! 그래서 $xh(x)$는 우함수가 됩니다. 이것도 순간적으로 놓치기 쉬운데, 이걸 놓치면 답을 만족하는 개형이 나오지 않습니다.

 

[그림 3]

위 [그림 3]에서 $S_1<S_2<S_3 \;\cdots $입니다. 원점에서 멀어질수록 함숫값이 증가하는 개형이라는 것입니다. 이 때

 

$$g(x)=\left\{\begin{matrix} 
\;\;1\;\;\;(f(nx)> 0)     \\  
\;\;0\;\;\;(f(nx)\leq  0) 
\end{matrix}\right.$$  를 반영해서 $y=xh(x)$를 그리면

 

 

와 같이 $x>0$인 구간에서는 $f(nx)<0$인 부분이 $0$으로 삭제되고, 반대로 $x<0$인 구간에서는 $f(nx)>0$인 부분이 지워집니다. 그렇다면, $\displaystyle\int_{-1}^{1}xh(x)dx=-\frac{1}{32}$ 값은 그림에서 알 수 있듯이 음수가 나올 수 밖에 없습니다! 즉 문제에서 요구하는 상황을 제대로 찾은 것이죠. 이를 위해서는 이 함수를 그리는 방법을 탐색했어야 했던 것이고요.

 

값을 구할 때는 각 구간에 대한 적분을 다 해서 $S_1,S_2, \;\cdots $를 찾을 것이 아니라 임의의 구간에 대해 적분을 한 뒤 연속하는 $S_n$의 차이를 구하는 것이 효과적입니다. 예컨대 $S_1$과 $S_2$의 차이는 $S_3$와 $S_4$의 차이와 같습니다. 그래서 

 

$$\begin{align*} 

S_1&=\pi \displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2n}}x\mathrm{sin}(2n\pi x)g(x)dx 
=\pi \displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2n}}xsin(2n\pi x)dx 
\\\\&=\left [ \frac{-\pi}{2n\pi}\,x\,\mathrm{cos}(2\pi nx) \right ]_{0}^{\frac{1}{2n}} 
+\frac{\pi}{2n\pi}\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2n}}\mathrm{sin}(2n\pi x)dx 
\\\\&=\frac{1}{4n^2} 

\end{align*}$$

 

이었었고, 그 다음

 

$$\begin{align*}

S_2&=\pi \displaystyle\int_{\frac{1}{2n}}^{\frac{1}{n}}x\mathrm{sin}(2n\pi x)g(x)dx
=\pi \displaystyle\int_{\frac{1}{2n}}^{\frac{1}{n}}xsin(2n\pi x)dx
\\\\&=\left [ \frac{-\pi}{2n\pi}\,x\,\mathrm{cos}(2\pi nx) \right ]_{\frac{1}{2n}}^{\frac{1}{n}}
+\frac{\pi}{2n\pi}\displaystyle\int_{\frac{1}{2n}}^{\frac{1}{n}}\mathrm{sin}(2n\pi x)dx
\\\\&=-\frac{1}{2n}\left ( \frac{1}{n}+\frac{1}{2n} \right )=-\frac{3}{4n^2}

\end{align*}$$

 

이 둘의 차이는

$$\frac{3}{4n^2}-\frac{1}{4n^2}=\frac{1}{2n^2}$$

고, 이것이 $n$개 있으니

$$\displaystyle\int_{-1}^{1}xh(x)dx=-\frac{1}{32}=n\times \left ( S_1-S_2 \right )=-\frac{n}{2n^2}=-\frac{1}{2n} $$ 

$$\therefore \;\;\;-\frac{1}{2n}=-\frac{1}{32}\;\;,\;\;n=16$$

 

 

[다른 방법]

 

마지막 적분 계산을 할 때, 결국 어떤 구간에서 $S_n$이 나온 다음 그 다음 구간에서 $S_{n+1}$은 부호가 반대인(=y축 기준 반대 방향)에서 발생합니다. 그리고 항상 $S_1<S_2$,$S_3<S_4$ 이며 $S_2,S_4,\,\cdots $ 들이 모두 음수이므로, 구하는 것은 $x>0$인 파트에서 $0$부터 $1$까지 적분하는 것과 같습니다.

 

$$\displaystyle\int_{-1}^{1}xh(x)dx=-\frac{1}{32}=\displaystyle\int_{0}^{1}xf(nx)dx$$

 

이 값을 치환적분해도 동일한 답 $n=16$ 을 얻습니다.

 

 

이와 같이 논리적으로 한 단계씩 생각해나가면서 답을 찾는 과정은 답지를 보지 않고 풀 수 있을 때까지 훈련하는 것이 좋습니다. 이 문제는 사실상 킬러급의 최상의 난이도를 가지고 있어서 풀이가 쉽지 않고 또 '20번'으로 등장해 수험생들을 좌절시켰다는 점이 정말 마음에 들지는 않지만 문제만 놓고 보면 좋은 문제입니다.

 

본인이 도저히 이 정도의 문제를 시험장에서 풀어 내기 어렵다는 생각이 수없이 떠오르는 학생은 풀 수 있는 문제에 집중해서 점수를 따는 것이 전략적입니다. 다만 그렇다고 할지라도, 이 난이도의 문제를 평소에 공부할 때는 그냥 짚어 던지지 말고 해설지나 강의를 보면서 듣고 이해하며 논리적 사고 과정은 배울 수 있도록 학습하는 것이 효과적일 것 같네요.