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수능 수학 (고난도 문항)

2021학년도 수능 수학 가형 27번 해설

by Gosamy 2020. 12. 10.
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27번은 EBSi 기준 오답률이 72.6%으로 전체에서 무려 4위입니다. 가채점을 하는 표본은 공부를 열심히 하는 학생들일테니 보통 6~9등급은 거의 반영되지 않습니다. 그걸 감안하면 실제 오답률은 90%에 육박할 것입니다. 아무튼 이는 20, 21번보다 오답률이 높은데, 물론 20번이 훨씬 더 어렵긴 합니다. 이 현상의 의의는 실제 시험에서 점수를 따는 입장으로 보았을 땐 객관식인지 주관식인지의 여부가 굉장히 중요하다는 것으로, 27번도 객관식으로 출제되었다면 이렇게 높은 오답률을 보이지 않았을 것입니다. 더구나 이 문제는 함정이 도사리고 있습니다. 잘못 풀게 되면 이상한 답이 나올 수 있는데 객관식이 아니다보니까 잘못 푼 줄 깨닫기가 어려운 것입니다.

 

20번을 풀어 맞추었다 할지라도 20번이 훨씬 어렵지만 27번과 배점은 똑같습니다. 이처럼 점수를 잘 따야 하는 시험의 특성상 본인의 실력을 잘 발휘하는 것만큼 동시에 실수를 줄이고 문제를 꼼꼼이 읽는 연습을 미리 해야 합니다. 시험장에서는 답을 맞히고 틀리는 것을 오로지 실력만이 좌우하지 않습니다. 예비 수험생이라면 이 문제를 공부할 때 정말 이것이 주관식 27번으로 내 인생 시험에 등장했다면 어떨까, 고찰해보는 것이 좋을 듯 합니다. 이 문제는 반드시 먼저 풀어본 뒤 해설을 읽으시고, 공부할 때 특히 중위권(3~4등급) 학생들은 킬러문항보다 이런 변별력을 갖춘 문제를 제대로 푸는 것을 먼저 정복해야 합니다.

 

이 문제의 가장 어려운 점은 첫번째 문장으로, log42n212log22 의 값이 40 이하의 자연수가 되어야 한다는 겁니다. 무슨 소리냐 하면, 정확한 식은 아래와 같습니다.

 

log42n212log221,2,,40(=lessthan40Naturalnumber)

 

함정에 빠지는 경우는 바로 좌변을 깔끔히 정리하는 과정에서 우변으로 숫자를 넘기는 겁니다. 좌변을 보면, 일단 두 항의 로그의 밑(base)이 다르기 때문에 밑을 맞춰주려는 노력을 할 수 있습니다. 실제 시험장이라고 생각하고 순차적인 판단을 해봅시다. 보통 밑은 최대한 작은 수로 만드는 것이 좋아서, 4보다는 2로 바꿔 보려 할 것입니다.

 

log42n212log22=log42+2log4n14log22=12+34log2n

 

이것이 40 이하의 자연수가 되어야 하므로,

 

12+34log2n40

 

그 다음 이항을 합니다.

 

log2n158352.33

 

우변은 자연수가 되어야 하고, n의 값도 자연수니까 로그의 밑을 넘겨서 정리하면

n252.333

 

이렇게 풀면 답이 나오지 않습니다. 252 보다 같거나 작은 자연수의 개수는 당장 구할수도 없고 수능 답의 세자리 자연수 범위를 넘어가니까요. 이외에도 로그의 밑을 변형한다거나, 12 을 넘긴 다음 자연수 조건을 쓴다거나 하면 모두 잘못된 길로 빠져들고 헤어나오기 어려워집니다.

 

어디가 잘못된 것일까요?

 

이러한 함정은 알고 나면 왜 빠지나, 싶을 수는 있으나 누구나 할 수 있는 실수이며, 시험장에서 막상 풀다가 막히면 정신적 타격을 줍니다. 누구나 바보같은 실수를 할 수 있으니 감안하며 대비를 합시다. 올바른 풀이는 좌변을 변형하기 전 부등식을 사용할 때 우변을 모두 나열하는 것입니다.

 

12+34log2n1,2,,40

 

이라 식을 세우면 되겠지요? 그러면 좌변의 이항되기 전의 값이 1,2,,40 중에 있다고 못을 박은 상황이니 적절한 풀이입니다. n에 관한 식으로 정리하면

 

12+34log2n1,2,3,,40
34log2n12,32,52,,20
log2n=23,2,103,,1583

 

마지막 줄에서 몇번 계산을 해보면 log2n의 값이 자연수가 나오는 경우는 2,6,10,,52.33.. 입니다. 최대 범위를 구하려면 158352.33... 으로부터 2,6,10,14,18,22,26,30,34,38,42,46,50이 13개입니다.


[다른 풀이]

 

좌변을 정리하지 않고 계속 정리하는 다른 방법도 있습니다.log42n212log22 의 값이 40이하의 자연수가 되어야 한다고 했습니다. 그러면

 

12+34log2n

 

으로 정리를 한 다음에 절대 이항을 하면 안된다는 겁니다! 저 자체로 하나의 세트인 것입니다!

 

따라서, 이를 다시 하나의 항으로 만든 다음 그 값이 40이하의 자연수가 되는 식을 세워야 합니다. 다시 로그로 바꾸어야 하는데, log2n의 계수가 34 이므로 로그의 밑을 다시 4로 바꾸는 것이 좋습니다. 그렇지 않으면 진수에 4n이 생기기 때문입니다. 네제곱근 보다는 제곱근을 다루는 것이 쉬우니,

 

12+34log2n=log42+32log4n=log42n32

 

으로 바꿉니다. 그러면 풀어야 할 식은

 

log42n32=1,2,3,,40

 

여기서부터는 하나하나 간단하게 정리할 것입니다. 먼저 로그의 밑을 없애고, n의 계수를 없애고, 최종적으로 n의 지수를 1로 정리해 줍니다.

 

log42n32=1,2,3,,40
2n32=41,42,43,,440=22,24,26,280
n32=21,23,25,,279
n=223,22,253,273,26,,279×23

 

여기서 마지막 줄을 보면 2번째, 5번째에서 각각 22,26이란 자연수가 나옵니다. 몇 번 더 해보면 알겠지만 이렇게 3칸을 간격으로 n값이 자연수가 됩니다.

 

그러면 어디까지 세야 하는가? 이것은 해보면 알겠지만 마지막에서 두번째 줄 식을 참고하면 좋습니다. 이 식에서 우변은 지수가 1 부터 79까지의 양의 홀수이죠? 즉 마지막 식의 22,26이 각각 n32=23,29에서 나왔기 때문에 1 79의 숫자 중에서 3에서 시작해 3칸 간격으로 숫자들을 긁어모아 주면 됩니다. 3칸에 해당하는 숫자의 크기(값)은 6이라서

 

3,9,15,21,27,33,39,45,51,57,63,69,75

 

총 13개가 답입니다.


※주의

 

첫번째 풀이에서 구한 13개의 숫자와 두번째 풀이에서 구한 13개의 숫자가 다르죠? 이것은 개수를 센 대상이 다르기 때문입니다. 첫 풀이에서는 log2n의 값을 센 것이고, 두번째 풀이에서는  n32 값이 밑이 2인 거듭제곱 꼴로 나타나는데, 그것의 지수의 개수를 센 것입니다. 무엇을 세든 개수는 동일하게 나옵니다.

 

실제 수능에서 정확히 풀어 맞히는 것이 만만치 않을 것으로 생각합니다. 그러나 이런 문제를 틀리지 않는 것이 오히려 최고난도 문제를 풀어내는 것보다 먼저 해결해야 할 실타래입니다. 제가 응시했던 몇년 전수능에서도 주관식 27번 오답률이 EBSi 기준 71%라 복병이었습니다. 27번, 28번은 원래 조금만 어려워도 주관식이기 때문에 답을 제대로 확실하게 내지 못하면 틀릴 가능성이 비대해집니다. 그러니 꼭 킬러문항으로 출제되는 30,29,21(번호는 이번 수능 계기로 바뀔 수도 있음)를 제외한 것들부터 잘 점수를 지킬 수 있도록 전략을 짜봅시다.

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