2021학년도 수능 수학 가형 27번 해설

27번은 EBSi 기준 오답률이 72.6%으로 전체에서 무려 4위입니다. 가채점을 하는 표본은 공부를 열심히 하는 학생들일테니 보통 6~9등급은 거의 반영되지 않습니다. 그걸 감안하면 실제 오답률은 90%에 육박할 것입니다. 아무튼 이는 20, 21번보다 오답률이 높은데, 물론 20번이 훨씬 더 어렵긴 합니다. 이 현상의 의의는 실제 시험에서 점수를 따는 입장으로 보았을 땐 객관식인지 주관식인지의 여부가 굉장히 중요하다는 것으로, 27번도 객관식으로 출제되었다면 이렇게 높은 오답률을 보이지 않았을 것입니다. 더구나 이 문제는 함정이 도사리고 있습니다. 잘못 풀게 되면 이상한 답이 나올 수 있는데 객관식이 아니다보니까 잘못 푼 줄 깨닫기가 어려운 것입니다.

 

20번을 풀어 맞추었다 할지라도 20번이 훨씬 어렵지만 27번과 배점은 똑같습니다. 이처럼 점수를 잘 따야 하는 시험의 특성상 본인의 실력을 잘 발휘하는 것만큼 동시에 실수를 줄이고 문제를 꼼꼼이 읽는 연습을 미리 해야 합니다. 시험장에서는 답을 맞히고 틀리는 것을 오로지 실력만이 좌우하지 않습니다. 예비 수험생이라면 이 문제를 공부할 때 정말 이것이 주관식 27번으로 내 인생 시험에 등장했다면 어떨까, 고찰해보는 것이 좋을 듯 합니다. 이 문제는 반드시 먼저 풀어본 뒤 해설을 읽으시고, 공부할 때 특히 중위권(3~4등급) 학생들은 킬러문항보다 이런 변별력을 갖춘 문제를 제대로 푸는 것을 먼저 정복해야 합니다.

 

이 문제의 가장 어려운 점은 첫번째 문장으로, $\log_42n^2-\frac{1}{2}\log_2\sqrt 2$ 의 값이 40 이하의 자연수가 되어야 한다는 겁니다. 무슨 소리냐 하면, 정확한 식은 아래와 같습니다.

 

$$\log_42n^2-\frac{1}{2}\log_2\sqrt 2\leq 1,2,\cdots ,40 \;\;(=\mathrm{less\;than\;40\;Natural\;number})$$

 

함정에 빠지는 경우는 바로 좌변을 깔끔히 정리하는 과정에서 우변으로 숫자를 넘기는 겁니다. 좌변을 보면, 일단 두 항의 로그의 밑(base)이 다르기 때문에 밑을 맞춰주려는 노력을 할 수 있습니다. 실제 시험장이라고 생각하고 순차적인 판단을 해봅시다. 보통 밑은 최대한 작은 수로 만드는 것이 좋아서, 4보다는 2로 바꿔 보려 할 것입니다.

 

$$\log_42n^2-\frac{1}{2}\log_2\sqrt 2=\log_42+2\log_4n-\frac{1}{4}\log_22
=\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\log_2n$$

 

이것이 40 이하의 자연수가 되어야 하므로,

 

$$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\log_2n\leq 40$$

 

그 다음 이항을 합니다.

 

$$\log_2n\leq \frac{158}{3}\leq 52.33$$

 

우변은 자연수가 되어야 하고, $n$의 값도 자연수니까 로그의 밑을 넘겨서 정리하면

$$n\leq 2^{52.333}$$

 

이렇게 풀면 답이 나오지 않습니다. $2^{52}$ 보다 같거나 작은 자연수의 개수는 당장 구할수도 없고 수능 답의 세자리 자연수 범위를 넘어가니까요. 이외에도 로그의 밑을 변형한다거나, $\displaystyle\frac{1}{2}$ 을 넘긴 다음 자연수 조건을 쓴다거나 하면 모두 잘못된 길로 빠져들고 헤어나오기 어려워집니다.

 

어디가 잘못된 것일까요?

 

이러한 함정은 알고 나면 왜 빠지나, 싶을 수는 있으나 누구나 할 수 있는 실수이며, 시험장에서 막상 풀다가 막히면 정신적 타격을 줍니다. 누구나 바보같은 실수를 할 수 있으니 감안하며 대비를 합시다. 올바른 풀이는 좌변을 변형하기 전 부등식을 사용할 때 우변을 모두 나열하는 것입니다.

 

$$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\log_2n\leq 1,2,\cdots,40$$

 

이라 식을 세우면 되겠지요? 그러면 좌변의 이항되기 전의 값이 $1,2,\cdots ,40$ 중에 있다고 못을 박은 상황이니 적절한 풀이입니다. $n$에 관한 식으로 정리하면

 

$$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\log_2n\leq 1,2,3,\cdots,40$$
$$\frac{3}{4}\log_2n\leq \frac{1}{2}\,,\,\frac{3}{2}\,,\,\frac{5}{2}\,,\,\cdots \,,\, 20$$
$$\log_2n=\frac{2}{3}\,,\,2\,,\,\frac{10}{3}\,,\,\cdots\,,\,\frac{158}{3}$$

 

마지막 줄에서 몇번 계산을 해보면 $\log_2n$의 값이 자연수가 나오는 경우는 $2,6,10,\cdots,52.33..$ 입니다. 최대 범위를 구하려면 $\displaystyle\frac{158}{3}\simeq 52.33...\cdots$ 으로부터 $2,6,10,14,18,22,26,30,34,38,42,46,50$이 13개입니다.

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[다른 풀이]

 

좌변을 정리하지 않고 계속 정리하는 다른 방법도 있습니다.$\log_42n^2-\frac{1}{2}\log_2\sqrt 2$ 의 값이 40이하의 자연수가 되어야 한다고 했습니다. 그러면

 

$$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\log_2n$$

 

으로 정리를 한 다음에 절대 이항을 하면 안된다는 겁니다! 저 자체로 하나의 세트인 것입니다!

 

따라서, 이를 다시 하나의 항으로 만든 다음 그 값이 40이하의 자연수가 되는 식을 세워야 합니다. 다시 로그로 바꾸어야 하는데, $\log_2n$의 계수가 $\displaystyle\frac{3}{4}$ 이므로 로그의 밑을 다시 4로 바꾸는 것이 좋습니다. 그렇지 않으면 진수에 $\sqrt[4]{n}$이 생기기 때문입니다. 네제곱근 보다는 제곱근을 다루는 것이 쉬우니,

 

$$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\log_2n=\log_42+\frac{3}{2}\log_4n=\log_42n^{\frac{3}{2}}$$

 

으로 바꿉니다. 그러면 풀어야 할 식은

 

$$\log_42n^{\frac{3}{2}}=1,2,3,\cdots ,40$$

 

여기서부터는 하나하나 간단하게 정리할 것입니다. 먼저 로그의 밑을 없애고, $n$의 계수를 없애고, 최종적으로 $n$의 지수를 1로 정리해 줍니다.

 

$$\log_42n^{\frac{3}{2}}=1,2,3,\cdots ,40$$
$$\Rightarrow\;\;2n^{\frac{3}{2}}=4^1,4^2,4^3,\cdots ,4^{40}=2^2,2^4,2^6,\cdots2^{80}$$
$$\Rightarrow\;\;n^{\frac{3}{2}}=2^1,2^3,2^5,\cdots ,2^{79}$$
$$\Rightarrow \;\;n=2^{\frac{2}{3}}\,,\,2^2\,,\,2^{\frac{5}{3}}\,,\,2^{\frac{7}{3}}\,,\,2^6\,,\,\cdots \,,\,2^\frac{79\times 2}{3}$$

 

여기서 마지막 줄을 보면 2번째, 5번째에서 각각 $2^2,2^6$이란 자연수가 나옵니다. 몇 번 더 해보면 알겠지만 이렇게 3칸을 간격으로 $n$값이 자연수가 됩니다.

 

그러면 어디까지 세야 하는가? 이것은 해보면 알겠지만 마지막에서 두번째 줄 식을 참고하면 좋습니다. 이 식에서 우변은 지수가 $1$ 부터 $79$까지의 양의 홀수이죠? 즉 마지막 식의 $2^2,2^6$이 각각 $n^{\frac{3}{2}}=2^3,2^9$에서 나왔기 때문에 $1~79$의 숫자 중에서 $3$에서 시작해 $3$칸 간격으로 숫자들을 긁어모아 주면 됩니다. $3$칸에 해당하는 숫자의 크기(값)은 $6$이라서

 

$$3,9,15,21,27,33,39,45,51,57,63,69,75$$

 

총 13개가 답입니다.

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※주의※

 

첫번째 풀이에서 구한 13개의 숫자와 두번째 풀이에서 구한 13개의 숫자가 다르죠? 이것은 개수를 센 대상이 다르기 때문입니다. 첫 풀이에서는 $\log_2n$의 값을 센 것이고, 두번째 풀이에서는  $n^{\frac{3}{2}}$ 값이 밑이 2인 거듭제곱 꼴로 나타나는데, 그것의 지수의 개수를 센 것입니다. 무엇을 세든 개수는 동일하게 나옵니다.

 

실제 수능에서 정확히 풀어 맞히는 것이 만만치 않을 것으로 생각합니다. 그러나 이런 문제를 틀리지 않는 것이 오히려 최고난도 문제를 풀어내는 것보다 먼저 해결해야 할 실타래입니다. 제가 응시했던 몇년 전수능에서도 주관식 27번 오답률이 EBSi 기준 71%라 복병이었습니다. 27번, 28번은 원래 조금만 어려워도 주관식이기 때문에 답을 제대로 확실하게 내지 못하면 틀릴 가능성이 비대해집니다. 그러니 꼭 킬러문항으로 출제되는 30,29,21(번호는 이번 수능 계기로 바뀔 수도 있음)를 제외한 것들부터 잘 점수를 지킬 수 있도록 전략을 짜봅시다.