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미분방정식(Differential equation)/고급 상미분방정식

2계 선형 동차 상미분방정식의 두번째 해의 급수 형태 (The form of Second Series solution in second-order linear homogeneous ODE)

by Gosamy 2021. 12. 24.
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앞선 시간에 2계 선형 동차 상미분방정식의 두번째 해는 첫번째 해를 바탕으로 엮어 적분식으로 쓸 수 있음을 보였습니다. 이 관계는 계수가 상수인 2계 선형 미분방정식에서는 별로 유용하지 않지만, 특수함수를 내포한 복잡한 상미분방정식을 프로베니우스 방법으로 다루면서 상정하는 급수해를 적을 때 등장하는 두번째 해를 탐구하는데 지참할 도구로서 기능합니다.

 

오늘은 두번째 해에 대한 급수 형태를 찾을 것입니다. 다시 말하지만 급수 형태의 해를 굳이 찾는 이유는 특수함수가 포함된 상미분방정식의 해를 찾을 때 프로베니우스 방법을 쓰기 때문입니다. 프로베니우스 방법을 쓰는 이유는 이걸 안쓰고서는 해를 구하기 어렵기 때문이고요. 


1. 2계 선형 동차 상미분방정식의 두번째 해의 급수 형태

 

오늘은 역대 최장 포스팅이 될 것 같으니, 결과를 먼저 질러 놓고 가겠습니다.

 

 

정리(D.E) 3.5

x=0에서 정칙 특이점을 갖는 2계 선형 동차 상미분방정식

x2y+x{xp(x)}y+x2q(x)y=0
에 대하여 xp(x)=n=0pnxn,x2q(x)=n=0qnxn 이 (해석적) 존재할 때, 프로베니우스 방법을 적용하면 첫번째 해

y1(x)=n=0anxn+r1
를 얻는다. 여기서 r1=m은 지표방정식 I(r)=r(r1)+p0r+q0=0 의 한 해이다.

두번째 해는,

1) 지표방정식이 서로 다른 두 실근 r1,r2를 가지고 두 근의 차가 정수가 아니면

y2(x)=n=0anxn+r2
2) 지표방정식이 중근을 가지면

y2(x)=y1(x)lnx+k=ndkxk+m
3) 지표방정식이 정수의 차인 두 서로 다른 실근을 가지면

y2(x)=Cy1(x)lnx+k=nekxk+m
으로 주어지고, 여기서 C는 조건에 의해 결정되는 상수이다.

4) 지표방정식이 허근(복소수 근)을 가지면 1)과 유사하게 두 해를 모두 얻을 수 있다. 단, 근의 형태는 실수부와 허수부로 나뉜다.

 

미분방정식

 

x2y+x{xp(x)}y+{x2q(x)}y=0(1)

 

를 고려합니다. 프로베니우스 방법을 쓸 수 있는 최대한의 악조건정칙 특이점의 상황까지 고려할 것이므로 양변에 x2이 곱해져 있는 상황이며, 여기서

xp(x)=i=0pixi,x2q(x)=j=0qjxj
으로 놓습니다. 그런 다음 첫번째 식의 형태를 프로베니우스 방법을 사용한다고 하여 급수해 꼴로 놓습니다.

 

y=y1(x)=xrn=0anxn=n=0anxn+r
여기서 해 ynr 모두에 종속되어 있는 모습을 가지고 있음을 주의합시다. 그리고 y를 두번까지 미분해서 y,y을 구하면

y=n=0(n+r)anxn+r1,y=n=0(n+r)(n+r1)anxn+r2
이것을 (1)에 대입합니다.

n=0(n+r)(n+r1)anxn+r+i=0pixin=0(n+r)anxn+r+j=0qjxjn=0anxn+r=0(2)

 

공통항을 묶어 조금 더 다듬으면,

 

n=0anxn+r{(n+r)(n+r1)+(n+r)i=0pixi(n+r)+j=0qjxj}=0(3)

지표방정식을 뽑아내야겠죠? p00이라 한다면 지표방정식은

 

r(r1)+p0r+q0=r2+(p01)r+q0=0(4)
입니다. 이 지표방정식을 I(r)이라 해보겠습니다. 그러면 식 (1)이나 (2)(3)I(r)에 관한 식으로 정리를 할 수 있게 됩니다.

 

a0I(r)xr+n=1[anI(n+r)+n1k=0ak{(k+r)pnk+qnk}]xn+r=0(5)
x=0이라는 자명해를 제외하고 이 식이 모든 x>0에서 성립하려면 x의 거듭제곱들의 계수가 모두 0이어야 합니다. 계속 해왔던 방식이죠. 그럼 이제 이차방정식인 지표방정식의 근의 Case를 나누어야 합니다.


1) 지표방정식이 서로 다른 두 실근 r1,r2(r1>r2,r1r2Z)을 가지는 경우를 먼저 봅시다. 단, 적은 대로 서로 다른 실수라고 하더라도 그 차이가 정수면 안됩니다. [각주:1]

 

그러면 (5)의 둘째 항에서 xn+r의 계수는 0이 되어야 합니다.

 

anI(n+r)+n1k=0ak{(k+r)pnk+qnk}=0(n1,nN)(6)
여기서 n은 시그마의 첨자이니 1보다 같거나 크고 자연수임에 집중합시다. 핵심은 급수해가 존재하기 위해서 이 (6)에서 첫 항에 놓여있는 an이 결정되어야 한다는 사실입니다. r은 지표방정식에서 정해졌고, 추가로 an이 정해지면 된다는 것이죠. 따라서 an이 정해지려면, 그 앞의 계수 I(n+r)이 0이 되지만 않으면 되겠죠? 0이 아니면 나눌 수 있고 an에 관한 식을 만들 수 있으니까요.

 

그럼 I(n+r)=0 이 가능한지만 확인하면 됩니다. I(r)=0의 해는 오로지 r1,r2 이니 n+ri=rj(i,j=1,2) 가 만족되는지를 봅시다. 첫째로, 우변과 좌변의 첨자가 동일한 경우 당연히 식은 만족되지 않습니다. 그러면 둘째, n1일 때 r1>r2 에 대하여 n+r1=r2 또는 n+r2=r1 일 수는 있을까요? 이 역시 불가능한데, 1)의 처음에서 두 근의 차가 정수인 경우는 제꼈기 때문입니다.

 

따라서 n1이면 I(r1+n)0 이 되므로 an을 반드시 결정할 수 있어서, 우리가 처음에 상정한 급수 형태의 한 해는 반드시 찾을 수 있습니다. 그리고 두번째 해도 동일한 꼴을 가집니다. 다시 한번 말하지만 지금 우리는 지표방정식이 서로 다른 두 실근을 가질 때의 상황만을 보고 있는 것입니다.

 

y1(x)=n=0anxn+r1(7)
y2(x)=n=0anxn+r2(8)


2) 문제는 지표방정식이 중근을 가질 때와 정수 차이가 나는 두 실근을 가질 때입니다. 중근을 가지면 r1=r2인 것이고, 정수 차이가 난다는 것은 r1>r2 일 때 r1r2=nN 이라는 뜻입니다.

 

이 때는 식 전개가 난해하고 상당히 어렵습니다. 그리고 정확하게는 Case를 중근을 가질 때와 정수차가 날 때 나눠서 두 번 살펴보아야 하지만, 결과적으로 앞에 붙는 상수의 차이 정도이며 전체적인 식의 형태는 똑같고 두 경우 모두 저번시간에 다룬 적분공식을 바탕으로 첫째 해로부터 둘째 해를 이끌어 낼 수 있기 때문에, 중근인 경우를 살펴보고 정수차가 날 때는 상수를 붙이는 작업에 대해서만 설명하려고 합니다. [각주:2]

 

지표방정식의 두 근을 r1=m,r2=mz 이라 합시다. (z은 음의 정수 또는 0) 그럼 두 근이 같거나 두 근의 차가 정수가 된다는 뜻입니다. 지표방정식은

 

r2+(n2m)r+m(mz)(9)

이 되고, (9)(4)를 비교하면

 

p01=z2m(10)
을 얻습니다.

 

정칙 특이점에서 오일러 방정식을 풀었을 때처럼, 2)에서도 일단 첫번째 해는 y1(x)=n=0anxn+r1 로 나옵니다. 이를 2계 선형 동차 상미분방정식의 두번째 해 공식에 집어넣으면

 

y2(x)=y1(x)xeuai=0pi1ti1dt{um(n=0anun)}2du

피적분함수의 분자에서 exp 의 지수부터 보면

 

uai=0pi1ti1dt=uai=1pitidt=p0lnu+k=0pkk+1uk+1+C(a)

euai=0pi1ti1dt=eC(a)up0ek=0pkk+1

 

이 때 맨 뒤에 달린 ek=0pkk+1은 테일러 전개를 합니다. 그러면 각 항은 piuk+1을 가진 급수의 합으로 나타낼 수 있는데 원래 xp(x)는 정칙 특이점이고, 해석함수로 취급되니 수렴하는 형태의 멱급수로 쓸 수 있습니다. 따라서 테일러 전개된 각 항도 piu의 거듭제곱들로 구성되어 있으니 수렴한다고 취급할 수 있습니다. 그 수렴하는 값은 어떤 상수가 될 것이고, 간단히 ε이라 놓으면

 

euai=0pi1ti1dt=ef(a)up0ek=0pkk+1=ef(a)up0ε

 

분모의 경우,

 

1{u2m(n=0anun)2}=u2m(n=0anun)2u2mn=0bnun
가 되어 첨자를 bn으로 바꿉니다. 그리고 보정할 수 있는 모든 상수는 초기조건이나 경계조건에 의해 주어진다고 생각하여 깔끔하게 정리해주면

 

y2(x)=y1(x)xup02m(n=0cnun)du(11)

 

(10)을 이용합니다. 즉 up02m=uz1(zZ{0}) 가 되므로, 이를 (11)에 넣어주면

 

y2(x)=y1(x)xuz1(n=0cnun)du=y1(x)x1uz+1(c0+c1u+c2u2+)du=y1(x)x(c01uz+1+c11uz+c2uuz+c3u2uz+)du=y1(x)x1uz(c0u+c1+c2u+c3u2++czuz1+cz+1uz+)du

 

드디어 해의 모양이 탄생했습니다.

 

① 만일. z=0이어서 지표방정식이 중근을 갖는다면 피적분함수의 첫 항에 c0z 가 남게 되고 이것을 적분하면 로그항이 반드시 생깁니다.

 

z가 음의 정수여서 두 근의 차가 자연수만큼 [각주:3] 난다면

(12)의 마지막 줄에서 피적분함수의 z번째 항이 czz가 되고, 역시 적분하면 로그항이 반드시 생깁니다.

 

그렇다면 로그항이 생긴다는 점에서 ①, ②는 완전히 같은 것일까요? 그렇진 않은데, 그 까닭은 멱급수 해를 쓸 때 첫 계수인 c0는 1로 두는 것이 보편적입니다. 그러나 ②에서 로그항의 계수는 cz이고 cz가 반드시 1일 필요는 없습니다. 심지어 cz=0이 될 수도 있고, 그러면 로그항은 사라질 수도 있습니다. 따라서 ②에서는 로그항이 사라질 수도 있다는 점에 착안하여 로그항 앞에 상수를 달아주어야 합니다.

 

정리하면 결론은 다음과 같습니다. 시그마의 첨자는 보편적으로 n을 쓰기 때문에, 위에서 쓴 zn으로 바꿔 첨자만 수정했습니다. 그리고 적분식 안의 피적분함수 시그마의 계수는 cn으로 썼으나 적분 결과 후엔 달라질 수 있기에 새로운 계수로 en을 적었습니다.

 

y2(x)=Cy1(x)lnx+k=nekxk+m

C값에 대해 주의할 저은 이미 다 설명해드리기도 했지만 박스 안에 적어두었습니다.

 

이 정리는 공식을 외우는게 목적이 되어서는 절대로 안됩니다. 수많은 미분방정식이 있고 그것들을 풀기 귀찮아 이 공식에 대입하면 되지 않을까?라고 생각한다면 이 글에 대한 이해가 전혀 되어 있지 않다고 볼 수 있습니다. 이 정리는 그냥 해가 이러한 꼴로 나타날 수 있음을 알려주는 것이지 실제로 근의 공식처럼 쓰는 것이 아니겠지요. 계수들도 문제 조건에 따라 정해야 하는 것이고요.

 

2계 미분방정식을 풀 다 보면 첫번째 시도로서 두번째 해를 못 구하는 경우가 허다합니다. 그럴 때 두번째 해에 대한 정보를 알려주는 정리이니, 그렇구나~ 하는 정도로 넘어가셔도 충분합니다. 사실상 이정도 되면 학부 수준이라 하긴 힘들고, 대학원 입문 난이도로 보는 것이 적절하거든요. 더욱 우리에게 중요한건 베셀 방정식을 처리하는 다음 시간부터입니다.

 

 

[참고 문헌]

Elementary differential Equations and Boundary value problems, William E. Boyce, Richard C. Diproma, Douglas B. Meade, WILEY

Mathematical Methods for Physicists, 7e, Arfken, Weber, Harris

 

 

 

  1. r이 복소수인 경우는 많이 필요하지도 않고 복잡해지니 굳이 또 적지 않을 겁니다만, 결과는 1)처럼 두 선형 독립해를 구할 수 있기는 합니다. 이는 코시-오일러 방정식을 정상점에서 풀었을 때의 을 참고하시면 되겠습니다. [본문으로]
  2. 교과서에 따라 두 Case를 나누는 경우도 있고 합쳐서 하나로 퉁쳐 보이는 경우도 있습니다. [본문으로]
  3. r에서 작은 r을 뺀 것이 자연수란 뜻 [본문으로]

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