앞선 시간에 2계 선형 동차 상미분방정식의 두번째 해는 첫번째 해를 바탕으로 엮어 적분식으로 쓸 수 있음을 보였습니다. 이 관계는 계수가 상수인 2계 선형 미분방정식에서는 별로 유용하지 않지만, 특수함수를 내포한 복잡한 상미분방정식을 프로베니우스 방법으로 다루면서 상정하는 급수해를 적을 때 등장하는 두번째 해를 탐구하는데 지참할 도구로서 기능합니다.
오늘은 두번째 해에 대한 급수 형태를 찾을 것입니다. 다시 말하지만 급수 형태의 해를 굳이 찾는 이유는 특수함수가 포함된 상미분방정식의 해를 찾을 때 프로베니우스 방법을 쓰기 때문입니다. 프로베니우스 방법을 쓰는 이유는 이걸 안쓰고서는 해를 구하기 어렵기 때문이고요.
1. 2계 선형 동차 상미분방정식의 두번째 해의 급수 형태
오늘은 역대 최장 포스팅이 될 것 같으니, 결과를 먼저 질러 놓고 가겠습니다.
정리(D.E) 3.5
x=0에서 정칙 특이점을 갖는 2계 선형 동차 상미분방정식
x2y″+x{xp(x)}y′+x2q(x)y=0
에 대하여 xp(x)=∞∑n=0pnxn,x2q(x)=∞∑n=0qnxn 이 (해석적) 존재할 때, 프로베니우스 방법을 적용하면 첫번째 해
y1(x)=∞∑n=0anxn+r1
를 얻는다. 여기서 r1=m은 지표방정식 I(r)=r(r−1)+p0r+q0=0 의 한 해이다.
두번째 해는,
1) 지표방정식이 서로 다른 두 실근 r1,r2를 가지고 두 근의 차가 정수가 아니면
y2(x)=∞∑n=0anxn+r2
2) 지표방정식이 중근을 가지면
y2(x)=y1(x)lnx+∞∑k=−ndkxk+m
3) 지표방정식이 정수의 차인 두 서로 다른 실근을 가지면
y2(x)=Cy1(x)lnx+∞∑k=−nekxk+m
으로 주어지고, 여기서 C는 조건에 의해 결정되는 상수이다.
4) 지표방정식이 허근(복소수 근)을 가지면 1)과 유사하게 두 해를 모두 얻을 수 있다. 단, 근의 형태는 실수부와 허수부로 나뉜다.
미분방정식
x2y″+x{xp(x)}y′+{x2q(x)}y=0⋯(1)
를 고려합니다. 프로베니우스 방법을 쓸 수 있는 최대한의 악조건인 정칙 특이점의 상황까지 고려할 것이므로 양변에 x2이 곱해져 있는 상황이며, 여기서
xp(x)=∞∑i=0pixi,x2q(x)=∞∑j=0qjxj
으로 놓습니다. 그런 다음 첫번째 식의 형태를 프로베니우스 방법을 사용한다고 하여 급수해 꼴로 놓습니다.
y=y1(x)=xr∞∑n=0anxn=∞∑n=0anxn+r
여기서 해 y는 n과 r 모두에 종속되어 있는 모습을 가지고 있음을 주의합시다. 그리고 y를 두번까지 미분해서 y′,y″을 구하면
y′=∞∑n=0(n+r)anxn+r−1,y″=∞∑n=0(n+r)(n+r−1)anxn+r−2
이것을 (1)에 대입합니다.
∞∑n=0(n+r)(n+r−1)anxn+r+∞∑i=0pixi∞∑n=0(n+r)anxn+r+∞∑j=0qjxj∞∑n=0anxn+r=0⋯(2)
공통항을 묶어 조금 더 다듬으면,
∞∑n=0anxn+r{(n+r)(n+r−1)+(n+r)∞∑i=0pixi(n+r)+∞∑j=0qjxj}=0⋯(3)
지표방정식을 뽑아내야겠죠? p0≠0이라 한다면 지표방정식은
r(r−1)+p0r+q0=r2+(p0−1)r+q0=0⋯(4)
입니다. 이 지표방정식을 I(r)이라 해보겠습니다. 그러면 식 (1)이나 (2)나 (3)을 I(r)에 관한 식으로 정리를 할 수 있게 됩니다.
a0I(r)xr+∞∑n=1[anI(n+r)+n−1∑k=0ak{(k+r)pn−k+qn−k}]xn+r=0⋯(5)
x=0이라는 자명해를 제외하고 이 식이 모든 x>0에서 성립하려면 x의 거듭제곱들의 계수가 모두 0이어야 합니다. 계속 해왔던 방식이죠. 그럼 이제 이차방정식인 지표방정식의 근의 Case를 나누어야 합니다.
1) 지표방정식이 서로 다른 두 실근 r1,r2(r1>r2,r1−r2∉Z)을 가지는 경우를 먼저 봅시다. 단, 적은 대로 서로 다른 실수라고 하더라도 그 차이가 정수면 안됩니다. 1
그러면 (5)의 둘째 항에서 xn+r의 계수는 0이 되어야 합니다.
anI(n+r)+n−1∑k=0ak{(k+r)pn−k+qn−k}=0(n≥1,n∈N)⋯(6)
여기서 n은 시그마의 첨자이니 1보다 같거나 크고 자연수임에 집중합시다. 핵심은 급수해가 존재하기 위해서 이 (6)에서 첫 항에 놓여있는 an이 결정되어야 한다는 사실입니다. r은 지표방정식에서 정해졌고, 추가로 an이 정해지면 된다는 것이죠. 따라서 an이 정해지려면, 그 앞의 계수 I(n+r)이 0이 되지만 않으면 되겠죠? 0이 아니면 나눌 수 있고 an에 관한 식을 만들 수 있으니까요.
그럼 I(n+r)=0 이 가능한지만 확인하면 됩니다. I(r)=0의 해는 오로지 r1,r2 이니 n+ri=rj(i,j=1,2) 가 만족되는지를 봅시다. 첫째로, 우변과 좌변의 첨자가 동일한 경우 당연히 식은 만족되지 않습니다. 그러면 둘째, n≥1일 때 r1>r2 에 대하여 n+r1=r2 또는 n+r2=r1 일 수는 있을까요? 이 역시 불가능한데, 1)의 처음에서 두 근의 차가 정수인 경우는 제꼈기 때문입니다.
따라서 n≥1이면 I(r1+n)≠0 이 되므로 an을 반드시 결정할 수 있어서, 우리가 처음에 상정한 급수 형태의 한 해는 반드시 찾을 수 있습니다. 그리고 두번째 해도 동일한 꼴을 가집니다. 다시 한번 말하지만 지금 우리는 지표방정식이 서로 다른 두 실근을 가질 때의 상황만을 보고 있는 것입니다.
y1(x)=∞∑n=0anxn+r1⋯(7)
y2(x)=∞∑n=0anxn+r2⋯(8)
2) 문제는 지표방정식이 중근을 가질 때와 정수 차이가 나는 두 실근을 가질 때입니다. 중근을 가지면 r1=r2인 것이고, 정수 차이가 난다는 것은 r1>r2 일 때 r1−r2=n∈N 이라는 뜻입니다.
이 때는 식 전개가 난해하고 상당히 어렵습니다. 그리고 정확하게는 Case를 중근을 가질 때와 정수차가 날 때 나눠서 두 번 살펴보아야 하지만, 결과적으로 앞에 붙는 상수의 차이 정도이며 전체적인 식의 형태는 똑같고 두 경우 모두 저번시간에 다룬 적분공식을 바탕으로 첫째 해로부터 둘째 해를 이끌어 낼 수 있기 때문에, 중근인 경우를 살펴보고 정수차가 날 때는 상수를 붙이는 작업에 대해서만 설명하려고 합니다. 2
지표방정식의 두 근을 r1=m,r2=m−z 이라 합시다. (z은 음의 정수 또는 0) 그럼 두 근이 같거나 두 근의 차가 정수가 된다는 뜻입니다. 지표방정식은
r2+(n−2m)r+m(m−z)⋯(9)
이 되고, (9)와 (4)를 비교하면
p0−1=z−2m⋯(10)
을 얻습니다.
정칙 특이점에서 오일러 방정식을 풀었을 때처럼, 2)에서도 일단 첫번째 해는 y1(x)=∞∑n=0anxn+r1 로 나옵니다. 이를 2계 선형 동차 상미분방정식의 두번째 해 공식에 집어넣으면
y2(x)=y1(x)∫xe−∫ua∞∑i=0pi−1ti−1dt{um(∞∑n=0anun)}2du
피적분함수의 분자에서 exp 의 지수부터 보면
−∫ua∞∑i=0pi−1ti−1dt=−∫ua∞∑i=−1pitidt=p0lnu+∞∑k=0pkk+1uk+1+C(a)
e−∫ua∞∑i=0pi−1ti−1dt=e−C(a)u−p0e−∞∑k=0pkk+1
이 때 맨 뒤에 달린 e−∞∑k=0pkk+1은 테일러 전개를 합니다. 그러면 각 항은 pi와 uk+1을 가진 급수의 합으로 나타낼 수 있는데 원래 xp(x)는 정칙 특이점이고, 해석함수로 취급되니 수렴하는 형태의 멱급수로 쓸 수 있습니다. 따라서 테일러 전개된 각 항도 pi와 u의 거듭제곱들로 구성되어 있으니 수렴한다고 취급할 수 있습니다. 그 수렴하는 값은 어떤 상수가 될 것이고, 간단히 ε이라 놓으면
e−∫ua∞∑i=0pi−1ti−1dt=e−f(a)u−p0e−∞∑k=0pkk+1=e−f(a)u−p0ε
분모의 경우,
1{u2m(∞∑n=0anun)2}=u−2m(∞∑n=0anun)−2≡u−2m∞∑n=0bnun
가 되어 첨자를 bn으로 바꿉니다. 그리고 보정할 수 있는 모든 상수는 초기조건이나 경계조건에 의해 주어진다고 생각하여 깔끔하게 정리해주면
y2(x)=y1(x)∫xup0−2m(∞∑n=0cnun)du⋯(11)
(10)을 이용합니다. 즉 u−p0−2m=u−z−1(z∈Z∪{0}) 가 되므로, 이를 (11)에 넣어주면
y2(x)=y1(x)∫xu−z−1(∞∑n=0cnun)du=y1(x)∫x1uz+1(c0+c1u+c2u2+⋯)du=y1(x)∫x(c01uz+1+c11uz+c2uuz+c3u2uz+⋯)du=y1(x)∫x1uz(c0u+c1+c2u+c3u2+⋯+czuz−1+cz+1uz+⋯)du
드디어 해의 모양이 탄생했습니다.
① 만일. z=0이어서 지표방정식이 중근을 갖는다면 피적분함수의 첫 항에 c0z 가 남게 되고 이것을 적분하면 로그항이 반드시 생깁니다.
② z가 음의 정수여서 두 근의 차가 자연수만큼 난다면 3
(12)의 마지막 줄에서 피적분함수의 z번째 항이 czz가 되고, 역시 적분하면 로그항이 반드시 생깁니다.
그렇다면 로그항이 생긴다는 점에서 ①, ②는 완전히 같은 것일까요? 그렇진 않은데, 그 까닭은 멱급수 해를 쓸 때 첫 계수인 c0는 1로 두는 것이 보편적입니다. 그러나 ②에서 로그항의 계수는 cz이고 cz가 반드시 1일 필요는 없습니다. 심지어 cz=0이 될 수도 있고, 그러면 로그항은 사라질 수도 있습니다. 따라서 ②에서는 로그항이 사라질 수도 있다는 점에 착안하여 로그항 앞에 상수를 달아주어야 합니다.
정리하면 결론은 다음과 같습니다. 시그마의 첨자는 보편적으로 n을 쓰기 때문에, 위에서 쓴 z를 n으로 바꿔 첨자만 수정했습니다. 그리고 적분식 안의 피적분함수 시그마의 계수는 cn으로 썼으나 적분 결과 후엔 달라질 수 있기에 새로운 계수로 en을 적었습니다.
y2(x)=Cy1(x)lnx+∞∑k=−nekxk+m
C값에 대해 주의할 저은 이미 다 설명해드리기도 했지만 박스 안에 적어두었습니다.
이 정리는 공식을 외우는게 목적이 되어서는 절대로 안됩니다. 수많은 미분방정식이 있고 그것들을 풀기 귀찮아 이 공식에 대입하면 되지 않을까?라고 생각한다면 이 글에 대한 이해가 전혀 되어 있지 않다고 볼 수 있습니다. 이 정리는 그냥 해가 이러한 꼴로 나타날 수 있음을 알려주는 것이지 실제로 근의 공식처럼 쓰는 것이 아니겠지요. 계수들도 문제 조건에 따라 정해야 하는 것이고요.
2계 미분방정식을 풀 다 보면 첫번째 시도로서 두번째 해를 못 구하는 경우가 허다합니다. 그럴 때 두번째 해에 대한 정보를 알려주는 정리이니, 그렇구나~ 하는 정도로 넘어가셔도 충분합니다. 사실상 이정도 되면 학부 수준이라 하긴 힘들고, 대학원 입문 난이도로 보는 것이 적절하거든요. 더욱 우리에게 중요한건 베셀 방정식을 처리하는 다음 시간부터입니다.
[참고 문헌]
Elementary differential Equations and Boundary value problems, William E. Boyce, Richard C. Diproma, Douglas B. Meade, WILEY
Mathematical Methods for Physicists, 7e, Arfken, Weber, Harris
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