앞선 시간에 2계 선형 동차 상미분방정식의 두번째 해는 첫번째 해를 바탕으로 엮어 적분식으로 쓸 수 있음을 보였습니다. 이 관계는 계수가 상수인 2계 선형 미분방정식에서는 별로 유용하지 않지만, 특수함수를 내포한 복잡한 상미분방정식을 프로베니우스 방법으로 다루면서 상정하는 급수해를 적을 때 등장하는 두번째 해를 탐구하는데 지참할 도구로서 기능합니다.
오늘은 두번째 해에 대한 급수 형태를 찾을 것입니다. 다시 말하지만 급수 형태의 해를 굳이 찾는 이유는 특수함수가 포함된 상미분방정식의 해를 찾을 때 프로베니우스 방법을 쓰기 때문입니다. 프로베니우스 방법을 쓰는 이유는 이걸 안쓰고서는 해를 구하기 어렵기 때문이고요.
1. 2계 선형 동차 상미분방정식의 두번째 해의 급수 형태
오늘은 역대 최장 포스팅이 될 것 같으니, 결과를 먼저 질러 놓고 가겠습니다.
정리($D.E$) 3.5
$x=0$에서 정칙 특이점을 갖는 2계 선형 동차 상미분방정식
$$x^2y''+x\left\{ xp(x) \right\}y'+x^2q(x)y=0$$
에 대하여 $xp(x)=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}p_nx^n\;\;,\;\; x^2q(x)=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}q_nx^n$ 이 (해석적) 존재할 때, 프로베니우스 방법을 적용하면 첫번째 해
$$y_1(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n+r_1}$$
를 얻는다. 여기서 $r_1=m$은 지표방정식 $I(r)=r(r-1)+p_0r+q_0=0$ 의 한 해이다.
두번째 해는,
1) 지표방정식이 서로 다른 두 실근 $r_1,\,r_2$를 가지고 두 근의 차가 정수가 아니면
$$y_2(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n+r_2}$$
2) 지표방정식이 중근을 가지면
$$y_2(x)=\,y_1(x)\ln x+\sum_{k=-n}^{\infty}d_kx^{k+m}$$
3) 지표방정식이 정수의 차인 두 서로 다른 실근을 가지면
$$y_2(x)=C\,y_1(x)\ln x+\sum_{k=-n}^{\infty}e_kx^{k+m}$$
으로 주어지고, 여기서 $C$는 조건에 의해 결정되는 상수이다.
4) 지표방정식이 허근(복소수 근)을 가지면 1)과 유사하게 두 해를 모두 얻을 수 있다. 단, 근의 형태는 실수부와 허수부로 나뉜다.
미분방정식
$$x^2y''+x\left\{ xp(x) \right\}y'+\left\{ x^2q(x) \right\}y=0\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;\;\;(1)$$
를 고려합니다. 프로베니우스 방법을 쓸 수 있는 최대한의 악조건인 정칙 특이점의 상황까지 고려할 것이므로 양변에 $x^2$이 곱해져 있는 상황이며, 여기서
$$xp(x)=\sum_{i=0}^{\infty}p_ix^i\;\;,\;\;x^2q(x)=\sum_{j=0}^{\infty}q_jx^j$$
으로 놓습니다. 그런 다음 첫번째 식의 형태를 프로베니우스 방법을 사용한다고 하여 급수해 꼴로 놓습니다.
$$y=y_1(x)=x^r\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n+r}$$
여기서 해 $y$는 $n$과 $r$ 모두에 종속되어 있는 모습을 가지고 있음을 주의합시다. 그리고 $y$를 두번까지 미분해서 $y',\,y''$을 구하면
$$y'=\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)a_nx^{n+r-1}\;\;,\;\;y''=\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)(n+r-1)a_nx^{n+r-2}$$
이것을 $(1)$에 대입합니다.
$$\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)(n+r-1)a_nx^{n+r}+\sum_{i=0}^{\infty}p_ix^i\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)a_nx^{n+r}+
\sum_{j=0}^{\infty}q_jx^j\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n+r}=0\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;\;\;(2)$$
공통항을 묶어 조금 더 다듬으면,
$$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n+r}\left\{ (n+r)(n+r-1)+(n+r)\sum_{i=0}^{\infty}p_ix^i(n+r)+\sum_{j=0}^{\infty}q_jx^j \right\}=0\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;\;\;(3)$$
지표방정식을 뽑아내야겠죠? $p_0\neq 0$이라 한다면 지표방정식은
$$r(r-1)+p_0r+q_0=r^2+(p_0-1)r+q_0=0\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;\;\;(4)$$
입니다. 이 지표방정식을 $I(r)$이라 해보겠습니다. 그러면 식 $(1)$이나 $(2)$나 $(3)$을 $I(r)$에 관한 식으로 정리를 할 수 있게 됩니다.
$$ a_0I(r)x^r+\sum_{n=1}^{\infty}\left[ a_nI(n+r)+
\sum_{k=0}^{n-1}a_k\left\{ (k+r)p_{n-k}+q_{n-k} \right\} \right]x^{n+r}=0\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;\;\;(5)$$
$x=0$이라는 자명해를 제외하고 이 식이 모든 $x>0$에서 성립하려면 $x$의 거듭제곱들의 계수가 모두 0이어야 합니다. 계속 해왔던 방식이죠. 그럼 이제 이차방정식인 지표방정식의 근의 Case를 나누어야 합니다.
1) 지표방정식이 서로 다른 두 실근 $r_1,\,r_2\;\;\;(r_1>r_2,\,r_1-r_2 \notin \mathbb{Z})$을 가지는 경우를 먼저 봅시다. 단, 적은 대로 서로 다른 실수라고 하더라도 그 차이가 정수면 안됩니다. 1
그러면 $(5)$의 둘째 항에서 $x^{n+r}$의 계수는 0이 되어야 합니다.
$$a_nI(n+r)+\sum_{k=0}^{n-1}a_k\left\{ (k+r)p_{n-k}+q_{n-k} \right\}=0\;\;\;\;\;(n\geq1\;,\;n\in \mathbb{N})\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;\;\;(6)$$
여기서 $n$은 시그마의 첨자이니 1보다 같거나 크고 자연수임에 집중합시다. 핵심은 급수해가 존재하기 위해서 이 $(6)$에서 첫 항에 놓여있는 $a_n$이 결정되어야 한다는 사실입니다. $r$은 지표방정식에서 정해졌고, 추가로 $a_n$이 정해지면 된다는 것이죠. 따라서 $a_n$이 정해지려면, 그 앞의 계수 $I(n+r)$이 0이 되지만 않으면 되겠죠? 0이 아니면 나눌 수 있고 $a_n$에 관한 식을 만들 수 있으니까요.
그럼 $I(n+r)=0$ 이 가능한지만 확인하면 됩니다. $I(r)=0$의 해는 오로지 $r_1,\,r_2$ 이니 $n+r_i=r_j \;\;\;\;\;(i,j=1,2)$ 가 만족되는지를 봅시다. 첫째로, 우변과 좌변의 첨자가 동일한 경우 당연히 식은 만족되지 않습니다. 그러면 둘째, $n\geq 1$일 때 $r_1>r_2$ 에 대하여 $n+r_1=r_2$ 또는 $n+r_2=r_1$ 일 수는 있을까요? 이 역시 불가능한데, 1)의 처음에서 두 근의 차가 정수인 경우는 제꼈기 때문입니다.
따라서 $n\geq 1$이면 $I(r_1+n)\neq 0$ 이 되므로 $a_n$을 반드시 결정할 수 있어서, 우리가 처음에 상정한 급수 형태의 한 해는 반드시 찾을 수 있습니다. 그리고 두번째 해도 동일한 꼴을 가집니다. 다시 한번 말하지만 지금 우리는 지표방정식이 서로 다른 두 실근을 가질 때의 상황만을 보고 있는 것입니다.
$$y_1(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n+r_1}\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;\;\;(7)$$
$$y_2(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n+r_2}\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;\;\;(8)$$
2) 문제는 지표방정식이 중근을 가질 때와 정수 차이가 나는 두 실근을 가질 때입니다. 중근을 가지면 $r_1=r_2$인 것이고, 정수 차이가 난다는 것은 $r_1>r_2$ 일 때 $r_1-r_2=n \in \mathbb{N}$ 이라는 뜻입니다.
이 때는 식 전개가 난해하고 상당히 어렵습니다. 그리고 정확하게는 Case를 중근을 가질 때와 정수차가 날 때 나눠서 두 번 살펴보아야 하지만, 결과적으로 앞에 붙는 상수의 차이 정도이며 전체적인 식의 형태는 똑같고 두 경우 모두 저번시간에 다룬 적분공식을 바탕으로 첫째 해로부터 둘째 해를 이끌어 낼 수 있기 때문에, 중근인 경우를 살펴보고 정수차가 날 때는 상수를 붙이는 작업에 대해서만 설명하려고 합니다. 2
지표방정식의 두 근을 $r_1=m,\,r_2=m-z$ 이라 합시다. ($z$은 음의 정수 또는 0) 그럼 두 근이 같거나 두 근의 차가 정수가 된다는 뜻입니다. 지표방정식은
$$r^2+(n-2m)r+m(m-z)\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;\;\;(9)$$
이 되고, $(9)$와 $(4)$를 비교하면
$$p_0-1=z-2m\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;\;\;(10)$$
을 얻습니다.
정칙 특이점에서 오일러 방정식을 풀었을 때처럼, 2)에서도 일단 첫번째 해는 $y_1(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n+r_1}$ 로 나옵니다. 이를 2계 선형 동차 상미분방정식의 두번째 해 공식에 집어넣으면
$$y_2(x)=y_1(x)\displaystyle \int_{}^{x}\frac{e^{-\displaystyle \int_{a}^{u}\sum_{i=0}^{\infty}p_{i-1}t^{i-1}dt}}{\left\{ u^{m}\left( \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nu^n \right) \right\}^2}\,du$$
피적분함수의 분자에서 $\mathrm{exp}$ 의 지수부터 보면
$$-\displaystyle \int_{a}^{u}\sum_{i=0}^{\infty}p_{i-1}t^{i-1}dt=-\displaystyle \int_{a}^{u}\sum_{i=-1}^{\infty}p_{i}t^{i}dt=p_0\ln u+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{p_k}{k+1}\,u^{k+1}+C(a)$$
$$e^{-\displaystyle \int_{a}^{u}\sum_{i=0}^{\infty}p_{i-1}t^{i-1}dt}=e^{-C(a)}\,u^{-p_0}\,e^{-\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{p_k}{k+1}}$$
이 때 맨 뒤에 달린 $e^{-\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{p_k}{k+1}}$은 테일러 전개를 합니다. 그러면 각 항은 $p_i$와 $u^{k+1}$을 가진 급수의 합으로 나타낼 수 있는데 원래 $xp(x)$는 정칙 특이점이고, 해석함수로 취급되니 수렴하는 형태의 멱급수로 쓸 수 있습니다. 따라서 테일러 전개된 각 항도 $p_i$와 $u$의 거듭제곱들로 구성되어 있으니 수렴한다고 취급할 수 있습니다. 그 수렴하는 값은 어떤 상수가 될 것이고, 간단히 $\varepsilon$이라 놓으면
$$e^{-\displaystyle \int_{a}^{u}\sum_{i=0}^{\infty}p_{i-1}t^{i-1}dt}=e^{-f(a)}\,u^{-p_0}\,e^{-\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{p_k}{k+1}}=e^{-f(a)}\,u^{-p_0}\,\varepsilon$$
분모의 경우,
$$\frac{1}{\left\{ u^{2m}\left(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nu^n\right)^2 \right\}}=u^{-2m}\,\left( \sum_{n=0}^{\infty}a_nu^n \right)^{-2}\equiv u^{-2m}\sum_{n=0}^{\infty}b_nu^n$$
가 되어 첨자를 $b_n$으로 바꿉니다. 그리고 보정할 수 있는 모든 상수는 초기조건이나 경계조건에 의해 주어진다고 생각하여 깔끔하게 정리해주면
$$y_2(x)=y_1(x)\int_{}^{x}u^{p_0-2m}\left( \sum_{n=0}^{\infty}c_nu^n \right)du\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;\;\;(11)$$
$(10)$을 이용합니다. 즉 $u^{-p_0-2m}=u^{-z-1}\;\;\;\;\;\left( z\in \mathbb{Z}\cup \left\{ 0 \right\} \right)$ 가 되므로, 이를 $(11)$에 넣어주면
\begin{align*}
y_2(x)&=y_1(x)\int_{}^{x}u^{-z-1}\left( \sum_{n=0}^{\infty}c_nu^n \right)du \\\\&=y_1(x)\int_{}^{x}
\frac{1}{u^{z+1}}\left( c_0+c_1u+c_2u^2+\cdots \right)du \\\\&= y_1(x)\int_{}^{x}
\left( c_0\,\frac{1}{u^{z+1}}+c_1\,\frac{1}{u^z}+c_2\,\frac{u}{u^{z}}+c_3\,\frac{u^2}{u^{z}}+\cdots \right)du\\\\&= y_1(x)\int_{}^{x}\frac{1}{u^z}\left( \frac{c_0}{u}+c_1+c_2u+c_3u^2+\cdots +c_zu^{z-1}+c_{z+1}u^z+\cdots \right)du
\end{align*}
드디어 해의 모양이 탄생했습니다.
① 만일. $z=0$이어서 지표방정식이 중근을 갖는다면 피적분함수의 첫 항에 $\displaystyle\frac{c_0}{z}$ 가 남게 되고 이것을 적분하면 로그항이 반드시 생깁니다.
② $z$가 음의 정수여서 두 근의 차가 자연수만큼 3 난다면
$(12)$의 마지막 줄에서 피적분함수의 $z$번째 항이 $\displaystyle \frac{c_z}{z}$가 되고, 역시 적분하면 로그항이 반드시 생깁니다.
그렇다면 로그항이 생긴다는 점에서 ①, ②는 완전히 같은 것일까요? 그렇진 않은데, 그 까닭은 멱급수 해를 쓸 때 첫 계수인 $c_0$는 1로 두는 것이 보편적입니다. 그러나 ②에서 로그항의 계수는 $c_z$이고 $c_z$가 반드시 1일 필요는 없습니다. 심지어 $c_z=0$이 될 수도 있고, 그러면 로그항은 사라질 수도 있습니다. 따라서 ②에서는 로그항이 사라질 수도 있다는 점에 착안하여 로그항 앞에 상수를 달아주어야 합니다.
정리하면 결론은 다음과 같습니다. 시그마의 첨자는 보편적으로 $n$을 쓰기 때문에, 위에서 쓴 $z$를 $n$으로 바꿔 첨자만 수정했습니다. 그리고 적분식 안의 피적분함수 시그마의 계수는 $c_n$으로 썼으나 적분 결과 후엔 달라질 수 있기에 새로운 계수로 $e_n$을 적었습니다.
$$y_2(x)=C\,y_1(x)\ln x+\sum_{k=-n}^{\infty}e_kx^{k+m}$$
$C$값에 대해 주의할 저은 이미 다 설명해드리기도 했지만 박스 안에 적어두었습니다.
이 정리는 공식을 외우는게 목적이 되어서는 절대로 안됩니다. 수많은 미분방정식이 있고 그것들을 풀기 귀찮아 이 공식에 대입하면 되지 않을까?라고 생각한다면 이 글에 대한 이해가 전혀 되어 있지 않다고 볼 수 있습니다. 이 정리는 그냥 해가 이러한 꼴로 나타날 수 있음을 알려주는 것이지 실제로 근의 공식처럼 쓰는 것이 아니겠지요. 계수들도 문제 조건에 따라 정해야 하는 것이고요.
2계 미분방정식을 풀 다 보면 첫번째 시도로서 두번째 해를 못 구하는 경우가 허다합니다. 그럴 때 두번째 해에 대한 정보를 알려주는 정리이니, 그렇구나~ 하는 정도로 넘어가셔도 충분합니다. 사실상 이정도 되면 학부 수준이라 하긴 힘들고, 대학원 입문 난이도로 보는 것이 적절하거든요. 더욱 우리에게 중요한건 베셀 방정식을 처리하는 다음 시간부터입니다.
[참고 문헌]
Elementary differential Equations and Boundary value problems, William E. Boyce, Richard C. Diproma, Douglas B. Meade, WILEY
Mathematical Methods for Physicists, 7e, Arfken, Weber, Harris
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