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정상점 근방에서의 급수해 (Series solution Near a Ordinary point) 이제 프로베니우스 방법을 적용해 2계 미분방정식의 급수해를 획득해 볼 차례입니다. 급수 형태의 해는 멱급수이고, 멱급수는 언제나 중심이 중요합니다. 이번에는 정상점 근방에서의 급수해를 만들어 볼 것이고 이것의 특징을 분석하려 합니다. 예제 1) 미분방정식$$y''+y=0\;\;,\;\;(x\in \mathbb{R})$$의 급수해를 구하여라. sol) $P(x)=1\;,\;Q(x)=0\;,\;R(x)=1$ 이므로, $P(x)\neq 0$ 을 만드는 점 $x$는 존재하지 않습니다. 따라서 모든 실수 $x$가 정상점입니다. 어느 점을 중심으로 해서 멱급수를 전개하던지 상관이 없다는 것인데 간단하게 $x=x_0=0$ 을 고려하겠습니다. 그러면 우리가 상정할 급수의 형태는 $$y=\sum_{n=0}^{\infty.. 2021. 2. 1.
미분방정식에서 정상점과 특이점 (Ordinary point and singular point in the Differential Equation) 미분방정식의 해를 급수 형태라 가정하고 해를 찾는 풀이법을 프로베니우스 방법이라 하며 바로 전 포스팅에서 설명했습니다. 프로베니우스 방법이 먹히려면 주어진 미분방정식이 특정한 형태를 갖추고 있어야 하는데, 그것은 '점'과 관련된 성질입니다. 이를 오늘 본격적으로 파헤쳐 볼 것입니다. 다음과 같은 2계 선형 동차 상미분 방정식의 일반적인 형태를 봅시다. $$P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0$$ 여기서 $P,Q,R$ 이 해석함수(그러나 아주 많은 경우에 이들은 다항함수 형태이니, 다항함수라 생각해도 됩니다)라 하고, 공통인수를 갖지 않는 꼴이라 생각할 것입니다. 공통인수를 가지면 그것으로 나누라는 뜻입니다. (즉, $P,Q,R$ 은 셋이서 놓고 보았을 때 특정 인수로 인수분해가 더 이상 안되는 관계라.. 2021. 1. 31.
프로베니우스 방법과 급수해 (Frobenius methods and Series solution) 2계 상미분 방정식은 계수가 상수일 때와 그렇지 않은 경우로 나눌 수 있습니다. 계수가 상수인 경우는 해법(미분방정식 카테고리에 포스팅)이 꽤나 간단하며 명확하게 해석적인 해(Analytic solution)를 구할 수 있어서 정해진 길을 따라 마치 공식 대입하듯이 풀면 해를 구하는 과정이 용이합니다. 반면 계수가 미지수가 되는 경우, 즉 독립변수 $x$의 함수가 되어버리면 상당히 골치아픈 구조가 되어버려 풀이 과정이 복잡하고 난이도가 급증하게 됩니다. 헌데 물리학에서 다루는 상당한 종류의 특수함수들은 이러한 미분방정식을 풀면서 등장하게 되고, 필연적으로 자연 현상을 설명하는 방정식에서 툭툭 튀어나오게 됩니다. 그리하여 공학, 물리학 과정에서 계수가 상수가 아닌 2계 선형 미분방정식을 푸는 방법은 매우 .. 2021. 1. 31.
아벨 항등식 (Abel's identity) 닐스 헨리크 아벨(Niels Henrik Abel, 1802-1829) 는 노르웨이의 위대한 수학자로 그의 수많은 업적들은 가히 수학이란 대성전 곳곳에 새겨져 있습니다. 아벨은 대중도가 낮은 편이라 수학을 잘 모르는 일반인이 접하기 쉽지 않은 인물이긴 하나 그의 업적은 천재 수학자들과 어깨를 견주해도 꿀리지 않을 정도입니다. 수학자에게 부여하는 상으로 아벨상이 있고, 수학에서 찾아보면 Abelian Group, 아벨 적분, 아벨 항등식 등이 있는데 난이도가 높다 보니 그 명성이 일반인들의 귓속까지 전달되기 힘든 것이라 생각됩니다. 그 유명한 5차방정식 이후부터 대수적으로 일반해를 구할 수 없다는 사실을 발견한 것도 이 아벨입니다. 안타깝게도 그는 요절했습니다. 역사를 보면 꽤 이른 나이에 생을 마감한 천.. 2021. 1. 29.
유전체 속에서의 전기장 (Electric field in Dielectrics) 여태까지 물질 속에서 전기장이 어떻게 달라지는지를 학습했습니다. 도체의 경우 정전기학에서 외부 전기장 속에 놓이면 그에 영향을 받아 도체의 표면으로 모두 전하가 움직이면서 그 효과를 상쇄해 내부에서의 전기장은 0이 된다고 하였으며, 지금 집중적으로 다루고 있는 유전체에서는 전자가 직접 움직이지는 못하나 외부 전기장을 상쇄하는 방향으로 편극(유전분극)이 발생해 전기 변위장을 도입하여 결과를 설명해야 했습니다. 그렇다면, 총체적으로 유전체는 전기장을 어떻게 변화시키는 것인지 물리학적 의미에 초점을 맞추어 정리를 해보도록 하겠습니다. 1. 전기장 속의 (선형) 유전체 1) 진공에서와 비교 다음 [그림 1]과 같이 진공과 유전체의 경계면에서 고리를 따라 $\mathbf{P}$ 의 선적분을 수행해 봅시다. 진공에.. 2021. 1. 29.
오일러 방정식의 제 2형태 : 벨트라미 항등식 (The Second form of the Euler Equation : Beltrami Identity) 오일러 방정식에서 $f$가 $x$에 의존하지 않는 함수라서 $$\frac{\partial f}{\partial x}=0$$ 을 만족하는 경우에, 좀 더 간단하고 편리한 두번째 형태의 오일러 방정식을 만들어 낼 수 있습니다. 이를 이끌어내는 과정은 계산량이 적진 않아서 복잡하다 느낄 수 있으나, 미분하는 방법이랑 식 정리만 할 줄 알면 무난히 이해할 수 있으니 포기하지 말고 도전해 봅시다. $f=f\left\{ y, y', x \right\}$ 에 대하여 도함수를 구해보면, $$\begin{align*} \frac{df}{dx}=\frac{d}{dx}f\left \{ y,y',x \right \}&=\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dx}+\frac{\partial f}.. 2021. 1. 28.
전기 변위장의 경계조건 (Boundary condition in the Electric displacement) 전기장의 경계조건을 고려했듯이, 전기 변위장에서도 경계조건을 떠올려 볼 수 있습니다. [그림 1]과 같이 두 경계면 1,2가 있고 그에 걸쳐 있는 물질을 생각합시다. 1) 연직 성분의 경계조건 전기장의 연직 성분 경계조건은 $$\mathbf{E}_u\cdot \hat{n}+\mathbf{E}_d\cdot \hat{n} =E_u^\perp -E_d^{\perp}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$$ 입니다. 여기서 첨자 $u$는 윗면, 즉 경계면 2를 가리키는 것이고 첨자 $d$는 아랫면인 경계면 1을 말합니다. 물질이 존재할 때는, 표면 전하 밀도를 $\sigma=\sigma_f+\sigma_b$ 로 나누어 써야 하고 $\sigma_b$ 는 두 매질에 의한 효과로 $$\sigma_b=\.. 2021. 1. 28.
유전상수, 유전율, 선형 유전체 (Dielectric constant, Permittivity, Linear Dielectrics) 오늘은 유전상수, 유전율이 선형 유전체인 경우 더욱 간단한 관계를 가지는 것에 대해서 다룹니다. 1. 편극밀도와 유전율 양자역학의 대상인 작은 원자 내부의 전자, 중성자, 양성자 등의 규모는 '미시적(microscopic)' 이라 하며 이 단계에서는 편극 정도, 유무를 고려하지 않습니다. 계가 이보다는 조금 더 거대해졌을 때 그 안의 양전하, 음전하들이 외부 전자기장에 반응하여 정렬하려는 편극의 모습을 보여주기 때문입니다. 이 수준의 규모를 '거시적(Macroscopic)' 이라 합니다. 거시적인 관점에서, 많은 물질들은 외부 전기장이 아주 세지 않을 때 다음과 같이 편극 밀도는 전기장에 비례합니다. 아래와 같은 관계를 만족하는 유전체를 '선형 유전체(Linear Dielectircs)'라 한다. $$\.. 2021. 1. 27.
전기 변위장과 물질 속에서의 가우스 법칙 (The Electric Displacement and the Gauss's Law in the Presence of Dielectrics) 진공이 아닌 유전체 안에서는 편극이 발생하여 전위를 계산해보면 단순히 전하를 셈해야 하는 것이 아니라 속박전하밀도를 고려해야 한다는 사실을 배웠습니다. 이는 진공에서의 전기장을 구할 때와 물질 속에서의 전기장을 구할 때 계산법이 같아서는 안된다는 것이며, 물질 속에서의 전기장을 새로 도입해야 함을 뜻합니다. 나아가 이것은 가우스 법칙에도 영향을 미쳐 이를 수정하는 작업이 필요함을 암시합니다. 1. 전기 변위장(Electric displacement) 1) 전기 변위장과 가우스 법칙 기존의 가우스 법칙의 미분꼴은 $$\nabla \cdot \mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$$ 으로 나타났고, $\rho$ 는 3차원에서의 부피전하밀도입니다. 앞으로 이 전하밀도는 자유전하밀도.. 2021. 1. 27.
평행판 축전기의 여러가지 특징 가장 대표적으로 문제에 등장하는 축전기는 평행판 축전기인데, 평행판 축전기의 공식은 간단하여 고등학교 물리에서부터 자주 등장하며 일반물리학 연습문제에도 많습니다. 평행판 축전기의 특징들을 자세히 분석해서 나올 수 있는 여러 유형을 살펴봅시다. 1. 평행판 축전기 평행판 축전기의 전기용량 공식은 다음과 같습니다. $$C=\varepsilon_0 \frac{A}{d}$$ $A$는 극판의 면적, $d$는 두 극판 사이의 거리입니다. 2. 전기용량의 변화 1) 유전체 삽입의 효과 전기용량을 늘리는 가장 인기있는 방법은 두 도체 극판 사이에 유전체(Directrics)를 삽입하는 것입니다. 원리는 위 [그림 1]의 (a)에서처럼 어떤 외부 전기장이 축전기에 가해져 있는 상황을 먼저 고려합시다. 이로 인해 축전기에.. 2021. 1. 25.
속박전하가 만드는 전기장 (Electric field according to the Bound charges) 이제 전기장 속에 유전체를 놓았을 때 어떤 일이 발생할지 예상할 수 있습니다. 유전체가 극성 분자 등의 영구 전기 쌍극자로 이루어져 있는 경우, 이들이 알짜 토크를 받아 전기장과 나란한 방향으로 배열될 것입니다. 반면 중성 원자나 무극성 분자로 이루어져 있다고 할지라도 유도 쌍극자가 만들어져서 외부 전기장에 나란한 방향으로 편극이 발생합니다. 이번에는 편극에 대해 자세히 분석할 것입니다. 1. 속박전하 1) 편극밀도 위에서 분석한 결과에 따라, 전기장 안에 유전체를 놓으면 그것이 중성원자나 무극성분자, 극성분자 중 무엇으로 이루어져 있던지간에 아주 많은 작은 쌍극자들이 전기장과 나란한 방향으로 늘어서게 됨을 알 수 있습니다. 바로 이 것은 이 물질이 '편극되었다(Polarized)'는 뜻이고, 이 효과의.. 2021. 1. 20.
유도 쌍극자와 편극 (Induced dipole and Polarization) 정전기학은 일반적으로 진공에서의 전하를 관찰한다는 특징이 있습니다. 그러나 실제로 현실에서 물질의 전기적 성질은 진공에서의 그것과는 상당한 차이점을 갖습니다. 왜냐하면 현실에는 무수히 많은 물체들이 분포하고 있기 때문에, 특정 전하로 인한 전기적 효과가 진공에서와 달리 주변 물질들에도 영향을 미치고 거꾸로 주변 물질들도 내가 관찰하고자 하는 전하에 영향을 주기 때문입니다. 뿐만 아니라, 축전기와 같은 몇가지 전기 소자는 진공이 아닌 물질을 사용해서 그것의 능력들을 달리 만들 수 있는 방법도 존재합니다. 그래서 여태까지 우리가 다루었던 정전기학은, 진공이 아닌 물질 속이라는 환경에서는 식들을 수정해야 할 필요가 있고 지금부터 그것을 해보려고 합니다. 물론 이 작업은 진공에서의 정전기학보다는 약간 복잡할 수.. 2021. 1. 20.
전자기학에서의 유일성 정리 (Uniqueness Theorem in Electromagenetics) 라플라스 방정식이 영역 내에 극값을 가지지 않고, 평균값의 성질을 갖는다는 특징을 저번 포스팅에서 밝혔습니다. 그런데 라플라스 방정식을 풀어 해를 정확히 정하려면 방정식 외에 경계조건(Boundary condition)이 주어져야 합니다. 유일성 정리(Uniqueness Theorem)은 라플라스 방정식에 적절한 경계조건이 주어지면 퍼텐셜을 하나의 값으로 완전히 정할 수 있다는 내용에 관한 정리입니다. 정리($E.M$) 2.3 The solution to Laplace's Eqaution in some volume $\mathcal{V}$ is uniquely determined of $V$(=potential) if specified on the boundary surface $S$. 어떤 부피영역 $.. 2021. 1. 19.
전위와 라플라스 방정식 (Electric potential and Laplace Equation) 전자기학에서는 특히 전위(V, potential)에 대한 라플라스 방정식을 풀 일이 허다합니다. 그것은 주어진 전하분포에 대해 그것이 만드는 전기장을 셈하고 싶기 때문입니다. 전위를 구하려면, 전기장의 정의 또는 가우스 법칙을 이용하여 전기장을 구하고 전기장과 전위의 관계식을 풀어내는 방법이 있고 추가적으로 라플라스 방정식이나 포아송 방정식이 있습니다. 앞선 두 방법을 여태까지 사용했으니, 이제부터 라플라스 방정식을 풀게 될 것입니다. ​ 그런데 짚고 넘어가야 할 것이 바로 라플라스 방정식의 특징으로, 이 방정식의 해가 존재하는지 또 존재한다면 몇 개 존재하는지, 어떤 조건 하에서 존재하는지 등에 관한 것입니다. 이러한 결과를 고찰하는 문제들은 수학적으로 일반적인 상황에서 증명하는 것이 매우 어렵습니다... 2021. 1. 19.
축전기에 저장된 전기에너지 (Energy storage in Capacitors) 1. 축전기와 에너지 축전기는 전하를 저장한다는 측면에서 곧 에너지를 저장하는 장치와도 같음을 인지할 수 있어, 이를 많은 전자회로에 이용하고 나아가 가전제품들을 구성하는 응용적 측면에서도 널리 사랑받고 있습니다. 만약 대전된 축전기에 전하가 저장되어 있다면, 전기 퍼텐셜 에너지는 (퍼텐셜의 정의를 생각해보면) 축전기를 대전시키는 과정에서 필요한 일의 양과 같을 것입니다. 즉 강제로 양전하와 음전하를 분리시켜야 하는 것이기 때문에 외부에서 전지 등의 전원 연결을 통해 일을 해주어야 합니다. 이 퍼텐셜에너지를 일을 통해 구해보려고 합니다. 축전기가 완전히 충전되었을 때 최종 전하량을 $Q$, 최종 전위차를 $V$라 하고 시간 $t$에서의 (어느 순간에서의) 전하량과 전압을 $q,v$ 라 해봅시다. 그러면 .. 2021. 1. 19.
축전기의 직렬연결과 병렬연결 (Series connection and parallel connection of Capacitor) 저항과 마찬가지로 축전기 역시 직렬 방식과 병렬 방식으로 연결할 수 있으며 각각의 경우에 축전기의 효과 및 회로가 어떻게 달라지는지 관찰해 봅시다. 1. 축전기의 직렬연결 (Series connection) 축전기를 직렬연결한다는 것은 두 축전기 사이에 나뉘는 교차로가 없음을 뜻합니다. 즉 하나의 길로 매끄럽게 연결되어 있으면 됩니다. 이렇게 축전기가 직렬연결되면 모든 판들이 지닌 전하의 절댓값이 같아지는데, 그 까닭은 이러합니다. 전지의 (+)극 쪽에 가장 가까이 닿아 있는 첫 판에 $+Q$의 전하가 대전되면, 같은 축전기의 아래 판엔 $-Q$가 대전되고, 그 판은 다시 아래로부터 음전하를 끌어온 것이기에 아래의 $C_2$ 축전기의 윗 판을 $+Q$로 대전시키며, 다시 이로 말미암아 그 아래 판은 $-.. 2021. 1. 19.
테일러 급수와 해석함수 (Analytic function with Taylor series) 해석함수는 과연 해석학(解析學, Analysis)의 보배이며, 1등급 최정예 함수라 할 수 있습니다. 해석학이 무엇일까요? 그 뜻은 의외로 영단어보다 한자를 보는 것이 더 좋은데, 쪼개어(析) 푼다(解)를 말하는 것으로 대상을 아주 잘게 나누어 관찰하겠다는 뜻이기에 극한, 미분, 급수 등의 주제를 다루는 학문입니다. 고등학교 수학과 대학 수학의 거대한 이질성을 장식하는 첫 관문이 바로 대수학, 해석학에 해당합니다. 해석학은 실수까지를 다루느냐, 복소수까지 다루느냐에 따라서 구별할 수 있는데, 일반적으로 복소해석학은 비단 해석학적으로 중요한 것 뿐만이 아니라 복소적분의 테크닉이 전반적인 실함수의 적분에 유용하게 쓰이기 때문에 실해석에 비해 타과에서도 쓸모가 많은 것과 달리, 실해석학은 수학과에서만 배우면서.. 2021. 1. 17.
테일러 정리와 테일러 공식 (Taylor's Theorem and Taylor's Formula) 저번 포스팅에서 했던 멱급수와 테일러 급수에 관한 논쟁, 테일러 전개를 통해 급수를 얻을 조건에 관한 개념들을 이해했다면 실은 절반 정도는 성공했다고 보면 됩니다. 이는 테일러 정리와 공식을 통해 좀 더 견고한 이론을 세워 나갈 수 있는 준비 체계를 모두 갖췄다고 보면 됩니다. 오늘까지만 정복하면 하나 둘 씩 의문증에 대한 답을 할 수 있으리라 믿습니다. 1. 테일러 정리 정리($CC$) 2.3) 테일러 정리(Taylor's Theorem) 함수 $f$ 에 대하여 $f,f',f'',\cdots , f^{(n)}$ 이 $x=a$ 를 포함하는 닫힌구간 $\left [ a,b \right ]$ 에서 연속이고 열린구간 $\left ( a,b \right )$ 에서 무한 번 미분가능할 때, 다음을 만족하는 수 $.. 2021. 1. 17.
축전기 (Capacitor) 전기회로의 3대장은 축전기, 코일, 저항입니다. 기전력을 공급하는 전지를 제외하고서는 연결장치로 저 세개가 가장 많이 등장하게 되지요. 축전기의 원리는 도체와 전기장에 대한 개념만 잡히면 받아들이기 쉽습니다. 1. 축전기 1) 정의 ($F.P$) 1.1 두 개의 도체를 서로 절연시켜 만든 장치를 축전기(Capacitor)라 하며 전하, 전기에너지를 저장할 수 있는 능력을 가지고 있다. 축전기가 전하 $Q$를 가지고 있다거나 전하 $Q$가 축전기에 저장되어 있다는 말은, 높은 전압의 도체는 $+Q$, 낮은 전압의 도체는 $-Q$만큼의 전하를 가지고 있음을 뜻한다. 전원을 연결한 뒤 도체 두 덩어리를 일정 간격으로 떨어뜨려 놓으면, 전지에 의해 퍼텐셜 차이가 발생하므로 전지의 (+)극과 연결된 쪽의 도체에는.. 2021. 1. 17.
테일러 급수와 테일러 전개 완전정복 (Taylor Series and Taylor expansion) * 이 글은 1탄이며, 이후 2탄과 이어집니다. * 이 글에 대한 방문객이 급증하고 있는데, 단순히 테일러 공식을 찾고 싶으시면 스크롤을 조금만 내려 공식을 확인할 수 있습니다. 하지만 이 글의 목적은 테일러 급수 및 전개를 이해하는 것이라 충분한 시간과 노력 없이 얼렁뚱땅 읽을 필요는 없습니다. * 지금부터 시작할 테일러 급수에 관한 논리 전개는 상당히 어렵습니다. 고난도 수학을 깨부수는 유일한 방법은 오로지 '끝까지 포기하지 않고 고민하기'라는 스킬을 장착하는 것입니다. 그렇지 않으면 이 글은 쓸모가 없음을 반드시 명심하고 들어오시길 권하겠습니다. 1. Introduction 대학에 입학한 자연계 학생이면 아주 적은 예외를 논외하고 반드시 미적분학을 1학년 때 수강해야 합니다. 미적분학을 처음 배우게.. 2021. 1. 16.
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