대학 수학에서 푸리에 해석과 푸리에 계수는 절대 빼먹을 수 없는 요소로 등장합니다. 그런데 대부분의 학생들은 K-수학식으로 주구장창 푸리에 계수를 열심히 구하는 방식으로만 공부를 하지 않았을까 싶은 개인적인 생각을 합니다. 저도 처음 배울 땐 그런 식으로 배우기는 했습니다.
푸리에 해석에 대해서는 궁극적으로 수학적 성질의 의미를 이해해야 합니다. 그리고 푸리에 해석은 대학에서 수학을 공부하는 거의 모든 이과생들이 반드시 사용하게 되는 도구이기에 이미 많은 컨텐츠들이 존재합니다. 그러한 컨텐츠들을 여러개 참고하다보면 공통적으로 하는 말이 있습니다. 바로 '아무리 복잡한 파형이라도 기본 파형들의 조합으로 쪼갤 수 있다'라는 말입니다. 대충 공부하신 분들도 어디서 주워 들었을 겁니다.
저 문장이 가진 의미를 제대로 알고 있으면 학부 수준에서 푸리에 해석은 완전히 끝냈다고 보아도 과언이 아닙니다. 이번 글부터는 저 문장의 해석을 위해 열심히 달려나갈 것입니다. 그러나 그 깨달음은 언제나 그랬듯 마지막에 얻을 수 있을 것이고, 복소수의 개념과 선형대수학(내적, 기저 등)에 대한 지식이 필요합니다. 아, 근데 거기까진 이해하기 싫다고 말하시는 분들도 있을겁니다. 그런 분들도 찰떡같이 이해하게 만들어 드리겠습니다.
1. 함수의 평균값
우선 함수의 평균값에 대해 알고만 갑시다. 단순한 내용이고 어렵지 않습니다. 고등학교 수학에 나오는 평균값의 정리 모양과 비슷하게 생겼습니다.
열린구간 $(a,b)$ 에서 함수 $f(x)$ 의 평균값은 $\displaystyle\frac{\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx}{b-a}$ 으로 정의한다.
구간을 잡았을 때, 분모는 구간의 길이에 해당하고, 분자는 그 함수의 면적 개념으로 보시면 됩니다. 그러니 면적을 구간 길이로 나눈 것을 평균값으로 정의하겠다는 것입니다. 직관적인 의미와 아주 와닿는 개념일테니 더 이상의 부연 설명은 필요 없을 것 같습니다.
예제 1) $(\pi, -\pi)$ 에서 $\sin ^2nx$와 $\cos ^2 nx$ 의 평균값을 구해보자.
$$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin ^2nx\, dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos ^2nx \,dx=\frac{1}{2}$$
2. 푸리에 급수의 일반적 형태
1) 푸리에 급수와 푸리에 계수를 삼각함수로 정의
'푸리에 급수(Fourier series)'는 다음과 같이 사인과 코사인함수의 선형결합으로 이루어져 전개식으로 펼쳐지는 급수로 정의한다. 일반적인 형태는 다음과 같다.
$$\begin{align*}
f(x)&=\frac{1}{2}a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\,\cos nx + \sum_{n=1}^{\infty}a_n\,\sin nx
\\\\&=\frac{1}{2}a_0+a_1\cos x+a_2 \cos 2x + \cdots + b_1\sin x+b_2 \sin 2x+ \cdots
\end{align*}$$
여기서 $a_n,\,b_n$ 은 주어진 푸리의 급수의 '푸리에 계수(Fourier coefficients)' 라 부른다.
$$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx \,dx \;\;\;(n=0,1,2,\;\cdots)\\\\ b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx \,dx \;\;\; (n=1,2, \;\cdots)$$
여기서 계수의 적분 구간은 $(0,2\pi)$ 로 잡을 수도 있다.
2) 설명
그런데 급수가 왜 이런 식으로 생겼을까요? 사실 이 질문에 대한 답만 구해도 푸리에 해석의 수학적 의미를 금방 낚아챌 수 있습니다. 이 급수는 결국 사인함수와 코사인함수들을 기저(basis)로 삼아 앞에 계수가 달린 꼴로 선형결합되어 있는 형태입니다. 선형대수학 관점으로 보면, 좌변의 $f(x)$는 임의의 주기 함수(벡터)이고, 우변의 코사인과 사인들은 기저 역할을 맞는 주기 함수인 것입니다. 그러므로 $f$가 속한 벡터공간에서 사인과 코사인이 기저임을 보이게 되면 $f$라는 임의의 파형은 이들의 선형결합으로 언제나 만들 수 있음을 보일 수 있는 것입니다. 마치 좌표공간의 임의의 점은 세 기저의 선형결합으로 나타낼 수 있는 것과 동일한 개념인 것이죠.
그러면 사인과 코사인들이 기저라는 것을 보이려면 어떻게 해야 할까요? 내적의 개념을 빌려와야 합니다. 그런데 함수의 내적을 어떻게 연산할까요? 내적공간을 알아야 합니다. 그러나 내적공간은 선형대수학에서 배우죠. 그러므로 대다수의 공대생들은 이 개념을 정확히 이해하기가 어려운 것입니다. 마음 같아서는 내적공간을 정확히 공부하라고 권하고 싶습니다만 시간적 여유가 없으실테니 간단하게 설명하고 가겠습니다.
고등학교 기하와 벡터에서 배우는 내적은 벡터끼리의 연산으로 내적의 결과는 스칼라입니다. 다시 말해 내적이라는 '연산'은 '벡터 두 개'를 '하나의 스칼라'로 바꿔주는 기능을 갖는 것입니다.1 그런데 대학수학(선형대수학)에서의 벡터는 단순히 크기와 길이를 갖는 물리량이 아니라 좀 더 확장된 개념을 갖습니다. 그래서 우리가 아는 함수들도 벡터에 포함됩니다. 이 확장된 벡터 개념을 적용할 때, 내적이란 두 벡터(함수)의 연관성을 측정하는 연산에 해당합니다.
고등학교 내적을 떠올려 봅시다. 예를 들어 두 벡터가 같은 방향을 보고 있으면 길이의 곱만 취하면 됩니다. 반대 방향을 보고 있으면 길이의 곱에 음수만 달아주면 됩니다. 특별할 때는 수직일 때로, 두 벡터가 수직의 관계에 놓여 있으면 내적 값은 벡터의 길이와 무관하게 그냥 0이 됩니다. 여기서 조심할 것이, 두 벡터의 연관성은 0일 때 없다고 규정하고, 같은 방향일 땐 가장 큰 것이며, 반대 방향일 때도 연관성이 큰 것입니다. (가장 큰 것은 같은 방향일 때라고 보는 것이 좋습니다) 왜냐고요? 반대 방향일 때 연관성이 없는 것 아니냐고요? 여기서 제가 말한 연관성은 선형대수학의 언어로 설명하자면 벡터의 선형독립과 선형종속의 의미와 유사합니다. 서로 반대 방향(180도)로 놓여 있는 벡터는 선형종속이기 때문에 사실 연관성이 매우 큰 관계입니다.
내적값이 0이 된다는 것은 고로 수직을 뜻합니다. 두 벡터가 수직 관계이면 사실 되게 좋습니다. 직교기저로 사용할 수 있거든요. 아무튼 중요한 건 기저로 사용할 수 있다는 것입니다. 그러면 푸리에 급수에서 사인과 코사인들이 기저라고 했는데, 이들이 직교한다는 것을 보이면 됩니다. 2
그러면 함수들도 벡터라 했는데 함수들의 내적을 어떻게 셈할까요? 함수의 내적은 그 함수가 적분할 수 있다는 조건, 즉 연속함수라는 가정 하에, 다음과 같이 정의합니다.
$$\left\langle f,g \right\rangle=\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx$$
좌변의 뾰족 괄호는 두 함수 $f$와 $g$를 내적한다는 내적의 기호입니다. 고등학교때는 단순히 도트(dot)로 표현했지만 대학 수학에선 저렇게 씁니다.
그러면 또 질문이 생깁니다. 왜 두 함수의 곱을 적분한 것이 내적이냔 질문 말입니다. 음, 정확하지만 어려운 설명을 먼저 하자면, 저 꼴은 내적공간의 공리를 만족하도록 설계된 형태입니다. 즉 곱해서 적분한 것을 내적이라고 정의했다기 보다는, 내적공간이라는 선형대수학의 개념이 있는데 그것을 만족하도록 이 정의가 만들어진 것입니다. 조금 어렵죠? 좀 더 쉽게 보자면, 위에서도 말했지만 내적은 두 대상(함수)의 연관성을 보는 것입니다. 연관성을 보기 위해 고등학교 수학에서 내적을 이렇게 계산했을 겁니다.
$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$$
성분이 세 개인 이유는 두 벡터가 3차원이라고 가정했다는 뜻입니다. 아무튼 이게 내적의 결과로 곱해서 더하는 것입니다. 근데 이 때 벡터는 성분을 이산적으로 쪼갤 수 있지만, 연속함수는 특정 $x$값에 대하여 $y$값이 존재하지만 열린 구간 속에서 이 특정 $x$값들이 연속이니까 개수를 셀 수가 없습니다. 사실상 무한히 많죠. 그래서 연속일 때도 곱해서 더하는 것이 내적인데 곱하는 대상은 두 함수가 되는 것이고, 더하는 것은 연속일 때 덧셈은 수학에서 시그마가 아니라 적분이죠. 그래서 연속함수의 내적은 곱해서 더하는 것으로 정의하는 것입니다.
3) 내적 계산
그러면 이제 사인들과 코사인들을 내적해서 0이 되는지 확인을 해보면 됩니다. 0이 되면 기저로서의 자격이 충분함을 파악할 수 있게 되는 것이니까요. 말했듯이 내적은 적분이라 적분 계산을 해야 하는데, 이 때 삼각함수 덧셈정리의 파생공식이 필요합니다. 이를 활용해 구간 $(\pi, -\pi)$ 에서 한 주기에 대한 다음 삼각함수 값들의 평균값을 구해보겠습니다.
$$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin (mx) \cos (nx)dx =0$$
$$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin (mx) \sin (nx)dx =
\left\{ \begin{array}{cl}
0 \;\;\;(m\neq n)\\\\
\;\;\;\;\; \displaystyle\frac{1}{2}\;\;\;(m=n\neq 0)\\\\
\;\;\;\;\; 0\;\;\;(m=n=0)
\end{array} \right.$$
$$ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos (mx) \cos (nx)dx =
\left\{ \begin{array}{cl}
0 \;\;\;(m\neq n)\\\\
\;\;\;\;\; \displaystyle\frac{1}{2}\;\;\;(m=n\neq 0)\\\\
\;\;\;\;\; 1\;\;\;(m=n=0)
\end{array} \right.$$
즉 사인과 코사인을 곱해서 적분하면 언제나 0이고, 사인끼리의 곱은 $m=n\neq 0$ 일 때만 $\displaystyle\frac{1}{2}$ 로 살고, 코사인끼리의 곱도 비슷하지만 이 때는 $m=n=0$ 이어도 1로 살게 됩니다. 중요한 건 두번째와 세번째의 경우에 최소한 $m=n$ 이어야만 0이 되지 않고 값이 존재한다는 것입니다.
내적의 값이 0이라는 것은 두 함수가 직교함을 뜻합니다. 이 방법을 통해 푸리에 계수를 뽑을 수 있습니다.
4) 푸리에 계수 구하기
푸리에 계수는 $a_n, \,b_n$ 을 말합니다. 이 계수는 양변에 평균값을 취하는 적분 연산을 통해 구할 수 있습니다. 푸리에 급수
$$f(x)=\frac{1}{2}a_0+a_1\cos x+a_2 \cos 2x + \cdots + b_1\sin x+b_2 \sin 2x+ \cdots$$
에서 $a_0$ 을 구하고 싶으면, 양변의 주어진 구간 $(-\pi, \pi)$ 에서 평균값을 취해 적분해주면 됩니다. 그러면 우변에서 $a_0$를 포함하지 않은 모든 항은 위의 사인과 코사인의 내적 관계에 의해 모두 0이 됩니다.
$$\begin{align*}
\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx &=\frac{1}{2}a_0 \cdot \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}dx + a_1\cdot \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos x \,dx + \;\cdots
\\\\&=b_1\cdot \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin x \,dx + b_2\cdot \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \sin 2x\, dx + \;\cdots \\\\& = \frac{1}{2}a_0 \cdot \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}dx
\end{align*}$$
$$ \therefore \;\;a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx$$
동일한 개념을 이용하면, $a_1$ 을 구하기 위해선 양변에 $\cos x$를 곱하고 적분하면 되고, $a_3$을 구하려면 $\cos 3x$ 를 곱하고 적분하면 되며, $b_5$ 를 구하기 위해선 양변에 $\sin 5x$ 를 곱하고 적분하면 되는 것입니다. 이는 내가 구하려고 하는 계수가 $a_n$ 이라면, $\cos nx$ 를 양변에 곱하고 적분하는 것인데 $a_n$이 달린 항만 내적의 값이 0이 아니게 되고 다른 모든 항이 내적 결과 0이 된다는 개념을 이용한 것입니다.
5) 선형범함수로 정의
그래서 푸리에 계수는 선형대수학의 개념을 빌려서 정의하는 것도 가능합니다. (공업수학이나 수리물리학만을 공부하신 학생들은 이를 굳이 이해할 필요는 없다고 봅니다)
닫힌구간 $\left[ 0,2\pi \right]$ 에서 정의된 연속인 실함수로 이루어진 벡터공간을 $V$라 하자. $g\in V$이며 $g(x)=\sin nx$ 또는 $\cos nx$ 일 때 다음과 같이 정의한 함수
$$\phi(f)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} f(x)g(x)dx$$
는 $\phi : V\rightarrow \mathbb{R}$ 인 $V$의 '선형범함수(Linear functional)'이고, 여기서 $\phi(f)$ 를 $f$의 $n$번째 푸리에 계수(Fourier coefficient)라 한다.
내적공간 $V$의 정규직교 부분집합 $\beta$(무한집합일 수도 있다) 와 $x\in V$ 에 대하여, $y\in \beta$ 일 때 스칼라 $\left\langle x,y \right\rangle$ 를 $\beta$ 에 대한 $x$ 의 '푸리에 계수(Fourier coefficient)'라 한다.
6) 복소수 형태의 정의
$$\sin x=\frac{1}{2i}\left( e^{ix}-e^{-ix} \right) \\\\ \cos x= \frac{1}{2}\left( e^{ix}+e^{-ix} \right)$$
라는 관계를 이용하게 되면, 푸리에 급수를 복소 지수 함수 꼴로 펼칠 수 있습니다.
푸리에 급수를 복소 지수 함수 형태로 표현하면
$$\begin{align*}
f(x)&=c_0+c_1e^{ix}+c_{-1}e^{-ix}+c_2e^{2ix}+c_{-2}e^{-2ix}+\cdots + c_ne^{inx}+c_{-n}e^{-inx}+\cdots
\\\\&= \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n
e^{inx}\end{align*}$$
이고, 여기서 푸리에 계수는
$$c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}\,dx$$
달라지는 것이 무엇인지 살펴봅시다. $k\in \mathbb{Z}$ 인 경우 $e^{ikx}=e^{-ikx}=\cos k\pi$ 이므로, 구간 $(-\pi. \pi)$ 에서 $e^{\pm ikx}$ 의 평균값은 $k\neq 0,\; k\in \mathbb{Z}$ 일 때
$$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{\pm ikx}\,dx=\frac{1}{2ik\pi}\,
\left[ e^{\pm ikx} \right]^\pi _{-\pi}=0$$
이 됩니다.
그러므로 $c_n$을 구하려면 양변에 $e^{-inx}$를 곱하고 다시 각 항의 평균값을 구해 적분을 연산하면 되는 것입니다.
$$\begin{align*}
\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}\,dx &=c_0 \cdot \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-inx}\,dx + c_1\cdot \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{ix}e^{-inx} x \,dx
\\\\&+c_{-1}\cdot \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-ix}e^{-inx} x \,dx + c_2\cdot \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} e^{2ix}e^{-inx}\, dx + \;\cdots \end{align*}$$
우변의 항들은 $k\in \mathbb{Z}$ 일 때 $e^{ikx}$ 들의 평균값이니, $k=0$을 제외하고는 모두 값이 0입니다. $k=0$ 인 항엔 우리가 구하고자 하는 푸리에 계수 $c_n$이 있어서, 식을 정리하면
$$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}\,dx=c_n \cdot \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-inx}e^{inx}\,dx =
c_n\cdot \frac{1}{2\pi}\times 2\pi = c_n$$
을 얻습니다.
3. 임의의 주기에 대한 푸리에 급수와 푸리에 계수
푸리에 급수 첫번째 시간에서 다뤘던 함수들 $\sin nx\;,\;\cos nx\;,\; e^{inx}$ 은 구간 $(-\pi,pi)$ 에서 주기 $2\pi$ 로 다루어 고려했었습니다. 그런데 주기를 굳이 이렇게 잡지 않고 일반적인 숫자로 잡는 것도 가능합니다. 주어진 함수 $f(x)$ 의 주기가 반드시 $2\pi$ 여야만 하는 것은 아니기 때문입니다. 여러 응용 문제에서 주기가 $2\pi$ 가 아닌 값을 갖는 상황을 마주할 수 있습니다.
길이(주기)가 $2l$ 인 구간을 고려해 봅시다. 적분 구간은 $(-l,l)$ 로 잡읍시다. 그러면 함수 $\sin nx\;,\;\cos nx\;,\; e^{inx}$ 들은
$$\sin\left( \frac{n\pi x}{l} \right)\;,\;\cos\left( \frac{n\pi x}{l} \right)\;,\;e^{\displaystyle \frac{in\pi}{x}}$$
으로 변화하게 됩니다. $\sin\left( \displaystyle\frac{n\pi x}{l} \right)$ 의 주기가 $2l$이 확실한지에 대해서는 아래와 같은 계산을 함으로써 보일 수 있습니다.
$$\sin (x+2l)\frac{n\pi}{l}=\sin \left( \frac{n\pi x}{l}+2n\pi \right)=\sin\left( \frac{n\pi x}{l} \right)$$
그러면 푸리에 급수와 푸리에 계수는 다음과 같이 변합니다.
일반적인 주기 $2l$ 에 대해 구간 $(-l,l)$ 에서 푸리에 급수는 다음과 같이 주어진다.
$$\begin{align*}
f(x)&=\frac{a_0}{2}+a_1\cos\left( \frac{\pi x}{l} \right)+a_2\cos\left( \frac{2\pi x}{l} \right)+\cdots
+b_1\sin\left( \frac{\pi x}{l} \right)+b_2\sin\left( \frac{2\pi x}{l} \right)+\cdots
\\\\&=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[ a_n\cos \left( \frac{n\pi x}{l} \right)+b_n\sin\left( \frac{n\pi x}{l} \right) \right]
\end{align*}$$
푸리에 계수는 아래와 같다.
$$a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\left( \frac{n\pi x}{l} \right)dx \\\\
b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\left( \frac{n\pi x}{l} \right)dx$$
복소수 표현의 경우에도 비슷하게 푸리에 급수와 푸리에 계수는 아래와 같이 주어진다.
$$f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{\displaystyle \frac{in\pi x}{l}}\\\\
\Rightarrow \;\; c_n=\frac{1}{2l}\int_{-l}^{l}f(x)e^{\displaystyle \frac{in\pi x}{l}}dx$$
[참고 문헌]
Mathematical methods for physical sciences, Mary L Boas
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