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위상수학에서 극한점, 집적점(limit point, accumulation point, cluster point) 극한점(limit point), 집적점(cluster point or accumulation point)라 불리는 이 친구는 사실 위상수학과 해석학의 딱 중간에 걸쳐 있는 가교 역할을 하는 무시무시한 친구입니다. 몇 번 마주쳐서 공부를 해보신 분들이라면 이 극한점의 개념은 난이도가 어렵지 않아 보이면서도 은근히 까다롭게 뇌에 과부하를 걸리게 만들고 알듯 말듯 헷갈리는 개념이라는 것을 많이 느꼈을 것이라 생각합니다. 실제로 극한점은 위상수학에서 폐포를 정의하거나 닫힌집합과 열린집합을 구분하는데 쓰이긴 하지만, 폐포를 정의하는 방법은 여러가지이고 닫힌집합과 열린집합을 구분하는 일에 꼭 극한점을 끌여들여야 할 필요는 없다고 느낄 수 있습니다. 그래서, 숨겨진 극한점의 정수는 사실 해석학에서의 개념입니다. 극한.. 2024. 4. 21.
위상수학에서 내부, 폐포, 경계, 외부(Interior, closure, boundary, exterior in Topology) 계속해서 '열림'과 '닫힘'이라는 성질을 연구하였으니, 언어적으로 볼 때 이들 개념을 바탕으로 어떤 영역의 경계에 관한 설명을 하는 것임을 예상할 수 있습니다. 열림과 닫힘의 성질을 이용해 주어진 대상의 내부와 경계에 대한 논의를 할 수 있습니다.1. 집합의 내부, 폐포, 경계, 외부 1) 정의 정의($T.P$) 2-18) 내부, 폐포, 경계, 외부의 정의위상공간 $(X,\mathcal{T})$ 와 부분집합 $A\subseteq X$ 를 생각하자.① $A$ 의 '내부(interior)'란 $A$ 에 포함된 모든 열린집합의 합집합으로 정의하며, 기호와 조건제시법으로는 다음과 같이 나타낸다 : $$\begin{align*} \operatorname{int}(A)=A^\circ&:=\displaystyle \.. 2024. 4. 20.
위상수학에서 닫힌집합(Closed set in topology) 여태까지는 줄곧 열린집합이 무엇인지만 설명하고, 위상의 원소를 열린집합이라고 정의하였습니다. 이는 무엇이 '열려'있다는 것인지 처음에 직관적인 납득이 어렵다는 문제를 안고 있습니다. 닫힌집합의 정의를 살펴보면서, 점점 깊이있는 학습을 하다 보면 추상적인 이 정의가 구체적으로 가시적으로 열려있다는 표현과 어떻게 연결되는지 깨닫게 됩니다. 닫힌집합의 정의 역시 처음에 보면 추상적이긴 하지만, 계속 헤아려 보면서 앞으로 나아가는 수밖에 없습니다. 또한, 열린 것과 상대적 열림이 무엇인지 맥락상의 차이가 존재했듯이, 닫힌 것과 상대적으로 닫힌 것의 미묘한 차이를 잡아챌 수 있어야 합니다. 이 글 역시, 일단 가볍게 1차원인 실수선에서의 닫힌집합 정의가 무엇인지 알고 있으면 더욱 좋습니다.  1. 닫.. 2024. 4. 18.
부분공간위상(Subspace topology) 이번 주제는 부분공간위상입니다. 기저의 의미가 선형대수학에서와 위상수학에서가 천차만별이었듯이, 부분공간이라는 비슷한 단어가 들어가 있음에도 불구하고 위상수학에서의 부분공간위상은 선형대수학에서의 그것과 또한 매우 다릅니다. 1. 부분위상 1) 정의 정의($T.P$) 2-15) 부분공간위상과 상대적 열린집합$(X,\mathcal{T})$ 를 위상공간이라 하자. 어떤 $Y\subseteq X$ 에 대하여, 집합족$$\mathcal{T}_Y=\left\{ Y\cap U\mid U\in\mathcal{T} \right\}=\left\{  V\subseteq Y\mid V=Y\cap U\;\text{ for some }U\in\mathcal{T} \right\}$$ 은 $Y$ 위에서의 위상이 되며, '부분공간위상(.. 2024. 4. 17.
곱 위상(Product topology) 이미 위상공간인 두 집합이 제시되었을 때, 이들을 데카르트 곱으로 묶어 집합을 만들고 그 위에서 위상을 만들 수 있습니다. 이에 대해 알아봅시다. 1. 곱 위상 1) 정의 정의($T.P$) 2-13) 곱 위상 $(X,\mathcal{T}),(Y,\mathcal{T}')$ 을 위상공간이라고 하자. 데카르트곱 $X\times Y$ 에서의 '곱 위상(product topology)이란', 모든 각각의 열린집합 $U\subseteq X\;,\;V\subseteq Y$ 들로 이루어진 데카르트곱 $U\times V$ 를 기저원소 $B\in\mathcal{B}$ 로 가지는 기저 $\mathcal{B}=\displaystyle \bigcup_{U\subseteq X,V\subseteq Y}^{}(U\times V)$ .. 2024. 4. 13.
순서위상과 광선(Order topology and ray) 순서위상은, 전순서가 주어진 집합에서 위상을 부여하는 방법에 관련된 것입니다. 따라서 집합론의 전순서 개념을 필히 알고 있어야 하고, 순서위상의 개념을 이용하여 구간(interval)에 대한 정의를 할 수 있게 됩니다. 1.순서위상 1) 구간의 정의 정의($T.P$) 2-10) 구간(intervals) 전순서(선형순서)집합 $(X,\leq)$ 를 생각하자. $a① 열린구간(open interval) : $(a,b)=\{ x\in X \mid a② (오른쪽)반열린구간(half open interval) : $[a,b)]=\{ x\in X\mid a\leq x ③ (왼쪽)반열린구간(half open interval) : $(a,b]=\{ x\in X\mid a④ 닫힌구간(closed interval) : $.. 2024. 4. 10.
위상수학에서 부분기저(Subbasis for a topology) MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']]}});위상수학에서 기저에 대한 학습을 하게 되면, 정의를 꼼꼼히 살펴보더라도, 기저로부터 위상이나 위상공간은 얼추 만들 수 있을 것 같기도 하나, 위상공간 $X$ 가 주어졌을 때 그럼 기저는 어떻게 찾으라는 것인지의 설명이 부실합니다. 물론, 기저가 주어졌을 때 그 기저로부터 위상공간 $X$ 나 위상 $\mathcal{T}$ 를 만드는 작업 역시 만만치는 않습니다. 실제로는 이와 같이 기저와 위상, 또는 기저와 위상공간의 관계를 들여다보는 것보다, 이 글에서 다룰 부분기저의 개념을 통해 위상이나 위상공간을 완성하는 편이 조금 더 수월합니다. 보다 정확히 말하자면, .. 2024. 4. 7.
위상수학에서 기저(Basis for a Topology) 선형대수학에서 기저는 선형결합을 통해 벡터공간을 구성하는데, 완전히 같은 선상에서 놓고 바라보기엔 차이점이 있으나 위상수학에서도 비슷한 개념으로 기저가 존재합니다. 1. 위상수학에서 기저 1) 정의 소개에 앞서, 알고 있어야 할 것들이 몇가지 있습니다. 교재마다 위상수학의 기저를 정의하는 방식이 몇가지 다른 경우가 있습니다. 이는, 결국 필요충분조건으로 나머지 것들을 정리로 취급하여 증명할 수 있기 때문에 그렇습니다. 그렇기에 어떤 명제를 정의로 삼아 서술해 나갈 것인지는 취향 차이라고 보아도 큰 문제가 없습니다. 하지만, 결국 학습을 하다 보면 기저의 정의 중 아래 정의($T.P$) 2-5-1) 은 어떤 주어진 집합족이 기저임을 '확인'하는, '점검'하는 용도로 많이 쓰이게 된다는 것을 알 수 있습니다.. 2024. 3. 17.
함수의 극한과 엡실론 델타 논법 완전정복(Epsilon-Delta Definition of Limits) 미적분학에서 가장 중요한 세 파트를 뽑으라고 한다면 1) 테일러 급수, 2) 스토크스 정리 그리고 3) 발산 정리입니다. 테일러 급수는 모든 수학에서(그리고 수학과에서도) 중요하고, 스토크스 정리와 발산 정리는 수학적으로도 중요하긴 하지만 무엇보다도 공학과 물리학에서 자연현상을 기술할 때 밥 먹듯이 사용하는 근사한 도구입니다. 당장 맥스웰 방정식만 보아도 발산과 회전으로 점철되어 있고, 유체역학은 말할 것도 없습니다. 그런데, 미적분학에서 가장 이해하기 난해한 단원을 뽑으라고 하면 저는 엡실론-델타 논법을 뽑을 것 같습니다. 일단, 엡실론-델타 논법을 처음 마주했을 때 풀이나 개념이 거의 외계어처럼 보이게 됩니다. 결국 앵무새처럼 해설지와 풀이방식을 외워버리고 얼마 지나지 않아서 여름 방학이 지나면 두뇌.. 2024. 3. 10.
유리수의 조밀성(Density of Rationals) 유리수의 조밀성은 여러 수학 과목의 수많은 정리나 성질을 밝히는 과정에서 상당히 빈번하게 등장합니다. 물론 증명을 매순간 하지는 않고, 성질을 가져다 쓰는 경우가 많습니다. 1. 유리수의 조밀성 정리($R.A$) 1.6) 유리수의 조밀성(Density of rationals) 임의의 $a0$ 라 하자. 아르키메데스 성질 ③에 의하여 $\displaystyle \frac{1}{n} 0$ 에 대해서도 $\displaystyle \frac{1}{n} \max \left\{ \displaystyle \frac{1}{a},\disp.. 2024. 3. 9.
위상과 위상공간(Topology and Topological space) 수학이나 과학 공부를 할 때 가장 중요한 것은 어떤 개념을 학습하는 일입니다. 그런데 우리나라에서는 그 수학적, 과학적개념을 '왜' 배우는 것인지에 대한 학습이 잘 이루어지지 않을 때가 있습니다. 로그가 왜 탄생하였고 쓸모 있는 도구로 각광받았던 것인지, 뉴턴의 2법칙을 운동량과 왜 연결짓는 것인지, 내적은 무엇의 용도로 사용되는지, 자석의 자기장은 전류의 자기장과 어떤 관계가 있을지 등에 관한 것입니다. 뿐만 아니라 어떤 연산이나 행위를 왜 마음껏 사용해도 되는지에 대한 질문에도 학생의 입장에서 좀처럼 답을 구하기 어려운 것들이 있습니다. 예컨대 항등식의 양변에 같은 수를 더하거나 빼도 방정식의 근이 변화하지 않는다는 명제는 군론을 통해 선명하고 깔끔히 증명할 수 있습니다. 상대적으로 대학.. 2024. 2. 25.
부분군(Subgroup) 집합에는 부분집합이 있고 벡터공간도 부분공간이 있듯이, 군도 부분군이 있습니다.1. 부분군1) 정의 정의($A.A$) 2-9) 부분군(Subgroups)군 $G$ 의 부분집합 $H$ 가 $G$ 에서 주어진 연산에 대해 군인 경우, $H$ 를 $G$ 의 '부분군(subgroup)'이라 하고 $H\leqslant G$ 라 표기한다.$H\neq G$ 인 부분군은 '진 부분군(proper group)'이라 하고, $\left\{ 1 \right\}$ 은 '자명 부분군(trivial subgroup)'이라 한다. 여기서 부등호 기호로 사용된 $\leqslant$ 는 $\leq$ 와 같은 뜻입니다. 저는 보통 집합 관계에서 이렇게 부분(sub)을 나타내는 경우에는 $\leqslant$ 로 쓰고, 숫자 간의 단순 대.. 2024. 2. 23.
대수학에서 군의 정의(Group in Algebra) 이제 본격적으로 추상대수학에서 군론을 시작하려 합니다. 군론은 대수학에서도 매우 중요하지만, 환론과 체론이라는 여정을 떠나기 위해 반드시 알아야만 하는 선행개념입니다. 물리학에서는 대학원 수준의 양자역학에서 군론을 다루게 됩니다. 물리학에선 대칭성의 어마무시한 중요성을 피력하는 뇌터 정리 등 군을 통해 대칭성에 대한 풍부한 연구가 필요하기에, 고급 물리학을 공부한다면 양자역학에서 군론이 필요합니다. 이는 순수 대수학의 군론보다는 군론의 응용에 가깝기는 하나, 군의 기본 개념이 필요한 순간에도 봉착할테니 필수적으로 학습해야 합니다. 군, 환, 체에 대한 기초 개념은 이미 설명한 바가 있지만 선형대수학 정도의 수준에서 간단히 설명한 것이고, 본격적으로 군론을 추상대수학(현대대수학) 수준에서 시작하기 위해 정.. 2024. 2. 23.
대수학에서 모노이드(Monoid in Algebra) 이항연산과 마그마에서 결합법칙과 항등원 조건을 추가한 것이 모노이드의 개념입니다. 본격적인 군을 다루기 전에 모노이드 정도로 성립하는 성질을 배우고, 이를 군으로 확장시켜 특성들을 들고 갈 수 있습니다. 1. 모노이드(Monoid) 1) 정의 정의($A.A$) 2-2) 모노이드(Monoid) 주어진 연산에 대하여, 마그마 $M$ 에서 결합법칙이 성립하고 항등원이 존재하면 $(M,*)$ 를 '모노이드(monoid)'라 부른다. 만일 모노이드 $M$ 에서 교환법칙이 성립하면, $M$ 을 '교환가능한 모노이드(commutative monoid)'라 부른다. 정의를 보면 마그마 다음으로 결합법칙의 성립과 항등원의 존재라는 조건이 추가되면 모노이드라는 이름을 붙여줍니다. 바로 아래에서 항등원은 유일하다는 것을 증.. 2024. 2. 23.
교대군(Alternating group) 순열과 치환은 대수학을 시작하기 위한 몸풀기 운동 수준인데, 군의 정의 이전에 순열과 치환만으로 개념을 잡을 수 있는 군의 종류가 바로 대칭군과 교대군 두가지입니다. 대칭군과 교대군은 군론을 하다 중간 부분쯤에 갑자기 또 나와서 집착적으로 과도하게 우리를 괴롭힐 때가 있기 때문에 처음에 한 번 제대로 발라 두겠디는 느낌으로 정리해 보는 것이 큰 의미가 있습니다. 1. 교대군 1) 정의 정의($A.A$) 1-9) 교대군(alternating group) 대칭군 $S_n$ 의 모든 짝치환들의 집합을 '차수가 $n$ 인 교대군(alternating group of degree $n$)'이라 하고 $A_n$ 으로 표기한다. 조건제시법으로 다음과 같이 쓸 수 있다. $$A_n=\left\{ \sigma\in S_.. 2024. 2. 21.
실수에서 닫힌집합과 폐포, 극한점(집적점)의 관계(The relation between the closed set, closure and cluster point) 극한점(집적점)의 뜻과 닫힌집합의 정의를 익히면, 폐포(closure)라는 개념을 도입해 닫힌집합을 조망할 수 있는 사전 준비가 끝났다고 볼 수 있습니다. 보통 폐포는 내부(interior)의 개념과 같이 소개되지만, 극한점의 개념 때문에 내부보다 좀 더 중요한 의미를 같습니다.  1. 폐포와 닫힌집합, 극한점(집적점)의 관계 폐포의 정의는 극한점을 설명할 때 간략하게 한 적 있으나 다시 봅시다. 정의($T.P$) 1-13) $\mathbb{R}$ 에서의 폐포(closure in real number)$B\subseteq \mathbb{R}$ 이라 하자. $B$ 의 모든 밀착점을 모은 집합을 $B$ 의 폐포(closure)라 하고, $\overline{B}$ 로 나타낸다.직관적으로 생각하면 폐포란 구간(.. 2024. 2. 13.
실수에서 열린집합, 닫힌집합(Open set and closed set in Real line) 밀착점, 고립점, 극한점과 같은 특별한 점들의 종류를 익힐 때는 열린구간, 닫힌구간 정도의 중고교 수학 개념만 알고 있으면 됩니다. 이제 열린구간, 닫힌구간의 개념이 좀 더 확장된 열린집합, 닫힌집합을 다룰 것인데 특히 닫힌집합을 다룰 때 특별한 점들의 지식이 큰 영양분이 될 것입니다.  1. 수직선에서 열린집합과 닫힌집합 1) 열린집합 정의($T.P$) 1-11) 실수에서 열린집합(Open set in $\mathbb{R}$)$A\subseteq\mathbb{R}$ 이 어떤 열린구간족의 합집합일 때 $A$ 를 '열린집합(open set)'이라 정의한다. 다시 말해 $A$ 가 열린집합이라는 것은 어떤 각각의 $\alpha\in I$ 에 대하여 $V_{\alpha}$ 들이 열린구간 일 때, $A=\disp.. 2024. 2. 13.
실수에서 밀착점, 극한점, 고립점 (adherent point, cluster point, isolated point in Real line) 이번 글에서는 실수(수직선) $\mathbb{R}$ 에서의 몇몇 점들에 대한 개념을 확인해 보도록 하겠습니다. 이 점의 개념은 차원을 확장했을 때도 굉장히 중요한 역할을 하며 폐포의 개념을 이해하고 닫힌집합의 정의를 여러 방법으로 기술할 수 있음을 이해하는데 도움이 됩니다. 이 점들의 개념을 무심코 생략하면, 해석학이나 위상수학에서 끊임없이 학습자를 괴롭히기 때문에 확실히 정리하고 가는 것이 무조건 낫습니다.  1. 밀착점과 폐포 1) 밀착점 정의($T.P$) 1-6) $\varepsilon$-밀착점($\varepsilon$-adherent point)$E\subseteq \mathbb{R}$ 에 대하여 주어진 $x\in\mathbb{R}$ 과 $\varepsilon >0$ 이 주어졌다고 하자. $x$가.. 2024. 2. 13.
실수에서의 구간의 종류(intervals in Real) 열린집합과 닫힌집합을 이해할 때 열린공과 닫힌공의 개념을 통해 학습할 수도 있지만, 이를 넘어서 위상적 성질을 탐구하기이전에 몇몇 점들의 종류를 익히는 것이 좋습니다. 오늘은 $\mathbb{R}^n$ 으로 넘어가기 전에, 실수(수직선) $\mathbb{R}$ 에서의 몇몇 점들에 대한 개념을 확인해 보도록 하겠습니다. 사실 이 방법을 통해 먼저 열린집합과 닫힌집합을 정의해도 되지만, 점들의 종류를 직관적으로 이해하기 이전에 간단히 이전 글에서 공을 통해 이들을 시각적으로 보는 것이 좋을 듯 하여 순서를 이와 같이 배치하였으니 참고하시기 바랍니다. ▶ 번외로 양자역학에서 축퇴(degeneracy)가 궁금하다면 이곳에서 간단하지만 매우 어렵고 불친절하게(?) 설명해 두었습니다. 1. 구간 정의($T.P$) .. 2024. 2. 13.
실수(수직선)에서 거리(Distance in the Real line) 위상수학이나 해석학, 선형대수학에서는 모두 '공간'을 다룹니다. 위상공간이 가장 추상적인 개념의 공간이고, 해석학에서는 놈(norm)과 거리(distance) 등이 특정한 방법으로 정의된, 차원이 일반화된 유클리드 공간을 다루며, 선형대수학에서는 군의 개념을 가지고 와 특별한 벡터공간을 다루게 됩니다.  현재 우리의 목표는 해석학에서 유클리드 공간을 분석하거나 위상수학에서 위상공간을 정의하는 것입니다. 전자의 작업은 차원을 $n$ 으로 확장해 나가야 할 터인데, 가장 간단한 1차원 실수 수직선의 개념부터 숙지하면 도움이 되는 것들이 많습니다. 또 아주 추상적인 개념인 위상공간을 곧바로 다루기 전에 실선을 분석하는 일은 귀중한 자산이 될 것입니다.  1. 실선에서의 거리 보통 공간에 대한 설명을 위상공간부.. 2024. 2. 13.
정렬정리(정렬원리)와 자연수의 정렬성(Well-ordering theorem, Well-ordering principle) 정렬정리, 정렬원리, 정렬이론 등으로 번역되는 이것은 선택공리를 통해 차례로 하우스도르프 극대원리, 초른의 보조정리를 유도했을 때 초른의 보조정리로부터 따라 나오는 결과입니다. 그리고 다시 정렬정리를 믿으면 선택공리를 도출할 수 있는 순환 관계를 완성할 수 있습니다. 집합론의 공리계에서 선택공리를 받아들였을 때 가장 믿기 난해한 정리가 바로 이 마지막 정렬정리에 해당합니다. 이것은 다른 정리와 유사하게 존재성만을 보장하기 때문에, 실제 그것이 예시로서 있는지 확인이 어렵기 때문입니다. 출발해 보도록 합시다. 1. 정렬집합 정의($S.T$) 5-8) 정렬집합(Well-ordered set) 전순서집합 $(A,\leq)$ 가 '정렬되었다(well-ordered)' 또는 '정렬집합(well-ordered se.. 2024. 2. 12.
초른의 보조정리(Zorn's lemma) 이번 글에서는 독일의 수학자 Max Zorn 에 의해 명명된 조른, 또른 초른의 보조정리를 다룹니다. 독일어로 읽으면 Zorn 은 '초른'에 가깝게 발음되고, 영어로 이르면 존슨 앤드 존슨 할 때 그 존슨이라고 읽게 됩니다. 초른의 보조정리는 선택공리나 하우스도르프 원리, 정렬이론에 비해서는 그나마 타 과목에서 활용도가 높다고 볼 수 있습니다. 넷 중 고학년 과목에서 가장 쓸 일이 많습니다. 그때마다 증명을 하지는 않고 집합론에서만 설명을 하니 증명까지는 아니더라도 내용은 기억할 가치가 있습니다. 이는 이 정리를 이용해서 여러가지 신비한 원리나 증명 불가능해 보였던 대상의 존재성을 규명할 수 있기 때문입니다. 심지어 양자역학에서는 파동함수를 표현하기 위해 선형대수의 언어를 사용하는데, 사실상 학부 수준의.. 2024. 2. 7.
하우스도르프 극대원리(Hausdorff Maximality principle) 이제 선택공리를 통해 하우스도르프 극대원리를 증명해 봅시다. 이 명제의 증명을 위해 필요한 개념과 보조정리가 있어서 그를 먼저 확인할 것입니다. 다만 이 보조정리는 사실상 집합론에서 가장 어려운 증명으로 손꼽아도 무리가 아닐 정도로 호흡도 길고 논리가 복잡합니다. 길이로 따지면 제가 블로그에서 한 여느 증명보다도 긴 것 같네요. 다만 이러한 복잡하고 긴 증명을 하지 않으려면 조금 더 고급 수학 과목의 지식을 가져와야 합니다. 집합론 수준에서는 이러한 증명이 최선이라 보시면 됩니다. 썸네일은 앞으로 유머삼아 만드려고 합니다. '하우스'가 꼭대기에 있음을 상징하는 그림입니다. 1. 허용가능함 정의($S.T$) 5-7) 허용가능함 어떤 $a\in A$ 를 생각하자. $B\subseteq A$ 인 집합 $B$가.. 2024. 2. 7.
선택공리(Axiom of Choice) 수학에서는 참인 명제를 바탕으로 다른 참인 명제를 연역논증을 통해 증명합니다. 얻게 된 새로운 명제들을 쌓아 올려 중요도가 높은 명제인 정리를 증명하기도 하고 다른 수학 분야와 연관성을 찾기도 합니다. 이러한 논증을 위해서는 누구나 모두 동일하는, 참이라는 명제가 기반으로서 필요합니다. 그러한 명제를 '공리'라고 합니다. 기하학의 공리에는 예컨대 '모든 직각은 합동이다'나 '선분을 확장하면 직선이 된다' 등이 있습니다. 이들은 수학을 하는 사람들이라면, 증명없이 참이라고 받아들이자는 것입니다. 집합론은 모든 수학 과목을 다룸에 있어 초석이 되는 집합이나 명제, 논리에 대한 공리를 만드는 틀을 다루는 과목입니다. 그렇기에 공리들을 계속 만들어가는데, 선택공리라는 것이 등장합니다. 선택공리는 ZFC 공리계의.. 2024. 2. 2.
정수론에서의 법 $n$ 에 대한 잉여류(residue class in the Number theory) 잉여류는 대수학의 시작, 즉 군론에 입문할 때 반드시 알아야 하는 정수론의 개념입니다. 저는 정수론의 기초를 잘 모른 채 대수학 공부를 시작했었는데, 그 때문에 정말 골머리를 앓았던 기억이 생생합니다. 그런데 군론을 공부하고 나서 정수론의 개념 중 단 한가지만 제가 제대로 알고 넘어갔다면, 하는 후회가 남는 것이 바로 합동과 이 잉여류의 개념입니다. 달리 말하자면 여러분이 만일 정수론에 대한 빠삭한 학습 없이 대수학을 공부해야 한다면 합동과 잉여류에 대한 개념은 반드시 알아야 한다는 것입니다. 왜냐하면 군론을 다룰 때는 순환군과 더불어 $\mathbb{Z}_n$ 을 알아야 하고, 이것이 나중에 몫 군 $\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}$ 과 동형(isomorphic)이라는 것을 보이게 되는데 .. 2024. 1. 29.
집합론에서 유계, 상한, 하한, 극대, 극소 보통 유계, 상한, 하한과 같은 용어는 수열의 극한을 접하면서 미적분학에서 해석학에서 주로 사용되고, 극대와 극소 역시 함수의 극값에서 사용하는 용어이긴 하지만 집합론에서 부분순서집합에 대해서 사용되는 용어이기도 합니다. 이때 상계와 하계, 상한과 하한은 수열이나 함수에서의 사용하는 용어와 본질적으로도, 외적으로도 큰 차이가 없습니다. 그런데 극대 극소원소라는 개념은 함수의 그래프에서의 그것들과 약간 다른 점이 있습니다. 미적분학이나 해석학에서 극대나 극소는 국소적인 부분에서(local) 최대 또는 최소를 말하는데, 이 집합론에서의 극대와 극소는 어떤 국소적인 범위라기 보다는 최대·최소의 개념에 가깝습니다. 하지만 그렇다고 또 이 개념이 집합의 모든 원소에 대해서 순서가 최대이거나 최소라는 개념과는 또 .. 2024. 1. 28.
유클리드 호제법, 유클리드 알고리즘(Euclid algorithms) 유클리드 호제법은 지금 고교 교육과정에 포함되어 있지 않지만 알고 있을 때 복잡한 문제를 해결하는데 약간의 도움이 되는 경우도 있습니다. 유클리드 호제법은 고대 그리스 수학자 유클리드(Euclid)가 만든 것이며, 그의 책에서 두 정수의 최대공약수를 찾는 알고리즘 중 하나입니다. 최대공약수를 찾을 때 두 수의 크기가 매우 커지게 되는 경우에는 더 이상 직관적으로 또는 암산으로 최대공약수를 찾기가 어려워지기 때문에, 나눗셈 알고리즘을 통해 수를 충분히 줄이면서 유클리드 호제법을 사용하면 답을 구할 수 있게 됩니다.1. 유클리드 호제법과 보조정리 유클리드 호제법을 증명하기 위해 유클리드 보조정리를 보이고 가는 것이 좋습니다. 사실 내용은 별 거 없고 지극히 당연한 내용입니다. 보조정리($N.T$) 1.1) .. 2024. 1. 19.
정수에서 서로소의 의미(relatively prime in the Number theory) '서로소'라는 말은 수학에서 크게 보았을 때 집합 관계 또는 정수론에서 사용하는 용어입니다. 이들은 각각 교집합을 가지지 않는 관계 혹은 최대공약수가 1임을 의미하는 말에 해당하는데, 한국어에서는 모두 '서로소'라고 표현하나 영어 표현은 살짝 다릅니다. 집합에서의 서로소 개념은 'mutally disjoint' 에 가깝고, 정수론에서의 서로소 즉 최대공약수가 1인 고나계는 'relatively prime' 이라고 표현합니다. 여기서는 후자의 개념에 대한 소개입니다. 1. 서로소 정의($N.T$) 1-7) 정수론에서 서로소적어도 둘 중 하나의 정수가 0이 아닌 $a,b\in\mathbb{Z}$ 에 대하여, $\gcd (a,b)=1$ 을 만족하면 두 수는 '서로소(relatively prime)'이라고 한다.. 2024. 1. 18.
베주 항등식(Bezout's identity) 베주 항등식은 나눗셈 정리와 최대공약수 개념을 활용하여 증명할 수 있고, 추후 유클리드 호제법을 증명하기 위한 도구적 역할을 합니다.   정리($N.T$) 1.5) 베주 항등식$a,b \in\mathbb{Z}-\{ 0 \}$ 일 때,$$ax+by=\gcd(a,b)=g$$ 를 만족하는 어떤 두 정수 $x,y\in\mathbb{Z}$ 가 항상 존재한다. 즉, 임의의 영이 아닌 두 정수의 최대공약수는 그 두 정수의 어떤 선형결합 표현으로 반드시 나타낼 수 있다.증명) $X=\left\{ax+by\mid x,y\in\mathbb{Z}\;,\; ax+by \geq 1 \right\}$ 라 하자. 여기서 $ax+by \geq 1$ 이라는 것은 곧 $ax+by$ 가 $0$ 보다 큰 정수라는 뜻이다. 그러면 $x=a$.. 2024. 1. 18.
철근 콘크리트의 발달 [2017학년도 9월] ‘콘크리트’는 건축 재료로 다양하게 사용되고 있다. 일반적으로 콘크리트가 근대 기술의 산물로 알려져 있지만 콘크리트는 이미 고대 로마 시대에도 사용되었다. 로마 시대의 탁월한 건축미를 보여 주는 판테온은 콘크리트 구조물인데, 반구형의 지붕인 돔은 오직 콘크리트로만 이루어져 있다. 로마인들은 콘크리트의 골재 배합을 달리하면서 돔의 상부로 갈수록 두께를 점점 줄여 지붕을 가볍게 할 수 있었다. 돔 지붕이 지름 45 m 남짓의 넓은 원형 내부 공간과 이어지도록 하였고, 지붕의 중앙에는 지름 9m가 넘는 원형의 천창을 내어 빛이 내부 공간을 채울 수 있도록 하였다. 콘크리트는 시멘트에 모래와 자갈 등의 골재를 섞어 물로 반죽한 혼합물이다. 콘크리트에서 결합재 역할을 하는 시멘트가 물과 만나면 점성을 띠는 상태가.. 2024. 1. 13.
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