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2017학년도 수능 가형 20번 모든 풀이법은 사진 안에 적혀 있습니다. 질문이 있으면 댓글로 적어주시면 됩니다. 2023. 2. 3.

2017학년도 9월 가형 30번 모든 풀이법은 사진 안에 적혀 있습니다. 질문이 있으면 댓글로 적어주시면 됩니다. + 풀이에서 'My)'라고 되어 있는 것은 단순히 제가 풀었을 때의 풀이이고, 'sol)'은 제가 참고한 강의나 교재 해설지의 풀이를 말하는 것이라 신경쓰지 않으셔도 됩니다. 2023. 2. 3.

2017학년도 6월 가형 29번 모든 풀이법은 사진 안에 적혀 있습니다. 질문이 있으면 댓글로 적어주시면 됩니다. + 이 문제는 주의할 것이 있습니다. 제가 초록색으로 comment 를 달아놓은 것에 'FTOC'란 미적분학의 기본정리1(Fundamental Theorem of Calculus I) 입니다. 이 용어 자체는 미적분학에서 사용합니다. 고교 과정에서는 '미분과 적분의 관계'라고 교과서에 명시되어 있습니다. 이 개념을 반드시 머리 속에 지니고 있어야 합니다. 교과서나 학교에서 강조를 잘 안하는 것 같은데, 미적분이라는 학문에서 미적분학의 기본정리1,2가 가장 중요한 개념입니다. 잘 모르시겠다면 이 글을 참고하시기 바랍니다. 2023. 2. 3.

2016학년도 수능 수학 B형 21번 모든 풀이법은 사진 안에 적혀 있습니다. 질문이 있으면 댓글로 적어주시면 됩니다. 2023. 2. 3.

육가의 사상과 세종의 역사서 편찬 [2023학년도 6월] * 진나라에 관해 곁들어 읽으면 좋을 만한 글(필자의 주관이 포함되어 있음) 야수진 엽구팽 지록위마 (가) 전국 시대의 혼란을 종식한 진(秦)은 분서갱유를 단행하며 사상 통제를 기도했다. 당시 권력자였던 이사(李斯)에게 역사 지식은 전통만 따지는 허언이었고, 학문은 법과 제도에 대해 논란을 일으키는 원인에 불과했다. 이에 따라 전국 시대의 처럼 다른 사상을 비판적으로 흡수하여 통합 학문의 틀을 보여 준 분위기는 일시적으로 약화되었다. 이에 한(漢) 초기 사상가들의 과제는 진의 멸망 원인을 분석하고 이에 기초한 안정적 통치 방안을 제시하며, 힘의 지배를 숭상하던 당시 지배 세력의 태도를 극복하는 것이었다. 이러한 과제에 부응한 대표적 사상가는 육가(陸賈)였다. 순자의 학문을 계승한 그는 한 고조의 치국 계.. 2023. 1. 15.

비타민 K의 역할 [2023학년도 6월/생명과학] 혈액은 세포에 필요한 물질을 공급하고 노폐물을 제거한다. 만약 혈관 벽이 손상되어 출혈이 생기면 손상 부위의 혈액이 응고되어 혈액 손실을 막아야 한다. 혈액 응고는 섬유소 단백질인 피브린이 모여 형성된 섬유소 그물이 혈소판이 응집된 혈소판 마개와 뭉쳐 혈병이라는 덩어리를 만드는 현상이다. 혈액 응고는 혈관 속에서도 일어나는데, 이때의 혈병을 혈전이라 한다. 이물질이 쌓여 동맥 내벽이 두꺼워지는 동맥 경화가 일어나면 그 부위에 혈전 침착, 혈류 감소 등이 일어나 혈관 질환이 발생하기도 한다. 이러한 혈액의 응고 및 원활한 순환에 비타민 K가 중요한 역할을 한다. 비타민 K는 혈액이 응고되도록 돕는다. 지방을 뺀 사료를 먹인 병아리의 경우, 지방에 녹는 어떤 물질이 결핍되어 혈액 응고가 지연된다는 사실을 발.. 2023. 1. 15.

매튜 효과 [2023학년도 6월/인문학] 글을 읽으려면 글자 읽기, 요약, 추론 등의 읽기 기능, 어휘력, 읽기 흥미나 동기 등이 필요하다. 글 읽는 능력이 발달하려면 읽기에 필요한 이러한 요소를 잘 갖추어야 한다. 읽기 요소들 중 어휘력 발달에 관한 연구들에서는, 학년이 올라감에 따라 어휘력이 높은 학생들과 어휘력이 낮은 학생들 간의 어휘력 격차가 점점 더 커짐이 보고되었다. 여기서 어휘력 격차는 읽기의 양과 관련된다. 즉 어휘력이 높으면 이를 바탕으로 점점 더 많이 읽게 되고, 많이 읽을수록 글 속의 어휘를 습득할 기회가 많아지며, 이것이 다시 어휘력을 높인다는 것이다. 반대로, 어휘력이 부족하면 읽는 양도 적어지고 어휘 습득의 기회도 줄어 다시 어휘력이 상대적으로 부족하게 됨으로써, 나중에는 커져 버린 격차를 극복하는 데에 많은 노력이 필.. 2023. 1. 15.

별의 스펙트럼 세기, 등가폭(Equivalent width) 천문학에서는 별의 스펙트럼을 관찰할 때 선폭과 선의 세기 관찰하는 일이 빈번합니다. 이들로 상당히 많은 물리·화학적 특징을 파악할 수 있기 때문입니다. 선폭과 선의 세기를 결정하는 요인들은 몇 가지 정리가 되어 있고 그것들을 소개해 보려고 합니다. 그리고 선폭과 선의 세기는 대학수학능력시험 과학탐구 영역 지구과학1에서도 계속해서 등장하고 있습니다. 바로 '표면온도가 같은 별 중 광도 계급이 큰 것의 흡수선의 선폭이 더 좁다'라는 것입니다. 교육과정 내에서 이에 대한 자세한 원리에 대해서는 학습하지 않습니다. 본 게시글의 수준은 대학교 학부 수준이지만, 특별히 어려운 계산이나 원리가 들어 있지 않기 때문에 호기심을 해결하고 싶으신 고등학생 분들도 충분히 따라 이해할 수 있다고 생각합니다. 그러나 최소한 고.. 2023. 1. 6.

방향도함수와 그래디언트(Directional derivative and Gradient) 과학과 공학에서 사용하는 미분연산자 중 으뜸인 것이 바로 나블라(Nabla) 연산자입니다. 스칼라 함수에 이 기호 $\nabla$ 를 달게 되면 구배(勾配), 기울기벡터의 의미를 가지게 되고 이 기호는 나블라(nabla), 델(del)이라고도 부르는데, 보통 기울기의 의미를 가질 때는 단순히 그래디언트라고 부르는 경우가 흔합니다. 이는 고등학교 때 배웠던 여러 다항함수, 초월함수의 접선의 기울기를 구하는 것과 비슷하긴 하지만, 그보다 조금 더 넓은 의미를 가지는 미분 연산자(operator)의 개념입니다. 또한 스칼라를 벡터로 만들어주는 연산자이기 때문에 벡터 연산자라 부르기도 합니다. 자연현상과 기술을 나타내는 수많은 개념들은 벡터로 구성되기 때문에, 벡터에 관해 미분하고 적분하는 벡터 미적분학에서 그.. 2023. 1. 6.

등자(Stirrups)가 주는 잠재력에 관한 교훈 '등자(鐙子, Stirrups)'란 말을 타는 사람인 기수가 안장에 앉고 양쪽 두 발을 걸어 승마시 좌우 방향의 균형을 잡게 하고, 승마 과정에서 발을 디딛을 때 사용하는 도구이다. 우리에게 더 익숙한 말 안장은 말 등에 설치하여 기수가 앞뒤 방향으로 균형을 잡아 안정적으로 승마를 돕는 도구이다. 안장이 없다면 즉시 기수는 달리는 말에서 관성과 흔들림으로 인해 앞뒤 방향 균형을 잡지 못하고 떨어져 큰 부상을 입기 쉬웠기에 안장은 말의 조련과 더불어 거의 동시에 사용된 반면, 등자는 그렇지 않다. 그런데 미국의 역사학자 린 화이트 주니어에 의하면 등자는 단순히 승마의 안전과 효율을 확보하는 것에 그치지 않고 이 기술 자체로 아주 큰 사회의 변화와 역사의 변수가 싹텄다고 주장한다. 그 이유는 무엇일까? 5세.. 2023. 1. 2.

핵융합과 핵분열의 원리 세상에 존재하는 여러 원소의 원자들은 핵변환을 일으키고는 한다. 핵변환이란 원자핵의 구성이 변화하는 것인데, 이에는 핵분열과 핵융합이 있다. 우라늄과 같은 무거운 원소의 원자핵은 자연 상태에서 그보다 더 가벼운 원자핵으로 변환하여 최종적으로 납이라는 다른 원소로 도달하고는 하는데, 이와 같은 현상을 핵분열이라고 한다. 반면 태양빛을 내는 원리이기도 한 핵융합은 수소와 같은 상대적으로 가벼운 원소의 원자핵이 헬륨과 같은 더 무거운 원자핵으로 변환하는 과정에 해당한다. 이와 같은 핵변환이 나타나는 원리는 무엇일까? 원자핵은 고유의 결합에너지를 가지고 있다. 간단한 이입자계를 고려해보자. 두 입자가 결합되어 있을 때 두 입자는 고유한 퍼텐셜에너지를 가지게 되는데, 두 입자가 무한히 멀리 떨어져 있어 상호작용이.. 2022. 12. 28.

그람-슈미트 직교화 과정(Gram-Schmidt orthogonalization process) 기저의 선택은 정규직교기저를 선택하는 것이 가장 깔끔하고 간편합니다. 그런데 주어진 공간의 정규직교기저를 처음부터 항상 알고 있는 것은 아니겠지요. 그렇지만 내적공간에서 공간의 차원에 해당하는 갯수만큼의 원소를 가진 벡터로 구성된 일차독립인 집합이 주어졌을 때, 반드시 정규직교기저를 구할 수 있고 그 방법이 소개되어 있습니다. 1. 그람-슈미트 직교화 과정 정리($L.A$) 6.6 [그람-슈미트 직교화 과정(Gram-Schmidt orthogonalization process)] 내적공간 $V$ 에서 일차독립인(또는 임의의 basis) 집합 $S=\left\{ w_1,w_2,\cdots,w_n \right\}$ 가 주어졌을 때, 다음과 같은 과정으로 내적을 수행하여 정규직교기저를 얻는 방법을 그람-슈미트.. 2022. 12. 18.

[형법총론] 결과적 가중범 1. 뜻 ① 특별히 무거운 죄가 되는 사실을 인식하지 못한 행위는 무거운 죄로 처벌하지 아니한다. ② 결과 때문에 형이 무거워지는 죄의 경우에 그 결과의 발생을 예견할 수 없었을 때에는 무거운 죄로 벌하지 않는다. 이 중 결과적 가중범에 해당하는 내용은 ②이다. (①은 사실의 착오에 관한 내용) 결과적 가중범은 기본범죄가 고의에 의해 이루어졌을 뿐만 아니라 그 중한 결과가 발생하였을 때, 형이 가중되는 범죄를 말한다. 기본범죄가 고의에 의해 이루어지는 것이기 때문에 과실범에 대해서는 결과적 가중범이 성립하지 않으며, 결과가 발생해야 한다는 점에서 결과적 가중범은 당연히 결과범이어야 한다. 2. 결과적 가중범의 종류 결과적 가중범의 종류는 두 가지로 나눌 수 있다. 진정결과적 가중범은 고의에 의한 기본범죄.. 2022. 12. 12.

[형법총론] 과실 1. 뜻 정상적으로 기울어야 할 주의를 게을리하여 죄의 성립요소인 사실을 인식하지 못한 행위는 법률에 특별한 규정이 있는 경우에만 처벌한다. (2020.12.8 본조개정) 과실범은 법률에 특별한 규정이 있을 때만 처벌된다. 과실치사죄, 과실치상죄, 실화죄 등이 그 예이다. 2. 과실의 종류 1) 인식 있는 과실과 인식 없는 과실 과실범이 성립하기 위해서는 행위자가 주의의무 위반으로 인하여 구성요건이 실현될 가능성을 인식하지 못하는 것이다. 즉 나의 행동이 범죄가 될 것이라고 (범죄의 구성요건을 만족시킬 것이라고) 전혀 예견하지 못하는 상황을 말한다. 이를 '인식 없는 과실'이라고 한다. 반면 '인식 있는 과실'이란 자신의 행동이 범죄 행위에 해당할 것이라고 (구성요건을 만족시킬 것이라고) 예상은 했지만,.. 2022. 12. 12.

[2022.12.06] 블로그 업데이트 (1) 1. 블로그 배경화면을 바꾸었습니다. 2. 블로그 파비콘과 아이콘이 꽃 사진으로 변경됩니다. (파비콘 설정법 : ICO 파일로 변환한 뒤에 그림판에서 크기 조정 80x80 으로 한 뒤 재저장) 3. Latex 문법이 댓글에서 적용되지 않는 문제가 해결되지 않고 있는데, 문법을 적어주시면 제가 읽을 수 있으니 댓글에 문법채로 달아주셔도 해석 가능합니다. 4. Latex 문법이 티스토리 앱(app)에서 적용되지 않는 어플 상의 오류가 있습니다. 앱에서까지 적용되게 하는 방법을 알기는 하는데 글마다 모두 수정을 가해야 하여 천천히 진행하여 수정해 두도록 하겠습니다. 사실 앱이 아니라 PC나 모바일, 테블릿에서 웹사이트(Safari, Whale, Chrome 등)로 보시는 것이 좋습니다. 한동한 꾸미기를 잊고 .. 2022. 12. 6.

양자 산란에서 부분파 방법(Partial wave analysis) 산란 진폭을 계산하는 방법은 전통적으로 두 가지가 있습니다. 그 중에 첫번째 방법인 부분파 분석에 대해 살펴볼 것입니다. 1. 부분파 분석 1) 도입 항상 어떤 개념을 시작할 때 그것이 가지는 의미나 목적을 우선적으로 생각해 볼 필요가 있습니다. 부분파 분석은 평면파의 진행 방향을 $\hat{z}$ 라고 잡았을 때, 파수벡터가 그것과 나란한 경우 큰 $r$ 값에 대해 평면파를 $r=0$ 중심으로 들어오는 구면파와 나가는 구면파의 형태로 나타내는 방법입니다. 말을 들어봐도 쉽지가 않지요. 이는 일종의 근사라고 할 수 있습니다. 원래는 평면파를 퍼텐셜에 넣으면 그냥 평면대로 진행하는 것도 있을 것이고, 구면파로 꺾여서 산란하는 것도 있을 터인데 그냥 구면파 두개로 퉁쳐서 계산하겠다는 것입니다. 물론 이러한 .. 2022. 12. 1.

양자 산란 이론(Quantum scattering theory) 양자 산란 이론에서는, 입사하는 대상이 파동성을 가진 파동이라 생각하고 파동에 관한 식을 써야 합니다. 파동에 대한 함수를 쓰려면 지수함수, 삼각함수가 등장하기 때문에 계산이 복잡해지고, 미시세계에선 고려해야 할 점이 많아서 조금 어렵습니다. 천천히 생각해 보겠습니다. 1. 파동함수 만들기 1) 산란진폭의 도입 양자역학에서 산란을 다룰 때는 평면파가 입사하고, 어떤 퍼텐셜을 만나 그로 인해 산란파가 발생하는 상황을 떠올리게 됩니다. 그러므로 다음과 같은 파동함수의 꼴을 해로 갖는 슈뢰딩거 방정식을 푸는 셈입니다. 이 해의 모양은 주구장창 언급할 것이기 때문에 앞으로 이 식을 '노란 박스식'이라고 부를 것입니다. 큰 $r$ 값에 대하여, 파동함수는 $$\psi(r,\theta)\simeq A\left\{ .. 2022. 11. 26.

고전 산란 이론(Classical scattering) 산란은 물리학 실험에서 단골 소재입니다. 두 입자의 충돌이 발생하면, 단순히 멀어지기도 하고 융합되거나 분열될 수도 있기는 하지만 많은 경우 하나의 입자가 상대적으로 덜 움직이고, 나머지 하나의 입자가 충돌 후 산란되어 비스듬하게 지나가는 경우가 많습니다. 아주 대표적인 산란 실험으로는 러더퍼드의 알파 입자의 산란 실험이 있지요. 산란을 물리학적으로 기술할 때는 몇가지 물리량을 잘 알고 있어야 합니다. 고전적으로 산란 이론은 난해한 점이 몇가지 있습니다만 기본적인 산란 구조 그림과 물리량에 대한 지식을 갖추고 있으면 잊을 법 할 때 종종 등장합니다. 이를 살펴보도록 하겠습니다. 1. 고전 산란 이론 1) 용어와 개념 고전 산란 이론이라는 이름을 붙인 까닭은 양자역학에서의 산란과 비교해야 하기 때문입니다... 2022. 11. 26.

2023학년도 수능 지구과학2 11번 (지상풍) [2022학년도 수능 지2 14번] ★★★ 묻고 있는 개념은 정말 쉬운데, 계산이 조금 걸린다. 사실 숫자보다도 단위 맞추기가 까다로운 편인데 같은 시험지 3번 문제도 그렇고 계속해서 단위 맞추는 문제들이 출제되고 있기에 충분한 연습이 되었을 것으로 생각한다. $\mathbf{Sol)}$ 북반구라는 조건과, 세 등압선 사이 총 거리가 $2d$ 라는 점, 그리고 위에서 내려다 본 상황(방위 표시로 확인 가능)임을 직시하자. ㄱ. 지균풍이라고 생각하고 기압 경도력의 방향이 서에서 동일지, 동에서 서일지를 고민해보자. 북반구에서 지상풍은 마찰력의 작용으로 등압선에 대하여 우측으로 비스듬히 꺾여서 불기 때문에, 북풍 계열의 지상풍이 불기 위해서는 기압경도력이 서에서 동으로 작용해야 한다. 따라서 기압은 서쪽이 .. 2022. 11. 21.

자유도와 일반화 좌표계 (Degrees of freedom and Generalized coordinates) 보통 역학에서 좌표계라고 하면은 직교좌표계(Cartesian coordinates), 구면좌표계(Spherical coordinates), 원통좌표계(Cylindrical coordinates) 를 떠올리지만, 라그랑주 역학에서는 좌표계를 임의로 설정하여 가장 간단한 형태의 오일러 방정식을 도출하는 것이 목표입니다. 게다가 물체의 배위(Configuration)을 나타낼 때 필요한 좌표가 단순히 $(x,y)$ 같은 위치 뿐만 아니라, 속도에 관한 항이 존재합니다. 이는 해밀턴 역학에서도 변수가 위치, 운동량인 것과 연결됩니다. 어떤 물체의 운동을 나타낼 때 변수가 $x,y$ 같은 위치 뿐만 아니라 속도 혹은 운동량까지 존재한다는 뜻입니다. 이번 시간에는 어처구니 없어 보이기도 하는 이 좌표계를 다루는 방.. 2022. 11. 20.

라그랑주 역학과 최소 작용의 원리(Lagrangian and Least Action principle) 변분법에 대한 수학적 기틀이 마련되었다면 뉴턴역학을 망라하는 자연을 바라보는 새로운 관점인 라그랑주 역학과 해밀턴 역학을 마주할 준비가 갖추어졌다고 볼 수 있습니다. 오늘 다룰 주제인 라그랑주 역학은 자연의 운동의 진수(眞髓)에 대해 고찰하게 만들 법한 주제입니다. 직관적으로, 보통 사람들은 자연이 연속적이라고 생각하며 자연의 반댓말로 인위적이라는 표현을 쓰는 것처럼, 자연은 어떠한 목적 없이 시간에 흐름에 따라 흘러가는, 스스로 이루어지는 무언가와 밀접한 관련을 가지고 있다고 생각하는 편입니다. 변덕스럽게 바뀌는 바람과 파도를 보면 자연은 매우 불규칙적인 것으로 보이기도 하지만 1년을 주기로 외양이 돌아오는 나무, 공전하는 지구 등을 보면 또 규칙적으로 순환적인 것처럼 보이기도 합니다. 예시가 매우.. 2022. 11. 20.

2022학년도 수능 지구과학2 10번 (행성의 운동) [2022학년도 수능 지2 14번] ★★★☆ 계산도 없는 이상, 이 정도는 빠르게 해결해야 한다. 그래도 나름 신박한 자료를 던졌다. $\mathrm{Sol)}$ 문제를 제대로 읽어야 한다. $t_1,t_2,t_3$ 는 $A$ 와 태양이 동시에 남중하는 날이라고 하였다. 그리고 적경 증가 방향이 왼쪽임에 주목하라. ㄱ. $A$ 부터 보도록 하겠다. $t_1$ 일 때 역행하고 있는데, 태양과 동시에 남중하는 날이라고 하였으니 $A$와 태양의 적도 좌표가 $t_1$ 에서 거의 같다는 뜻이다. 외행성은 충에서 역행하므로 $A$는 외행성이 될 수 없고 내행성이며 역행 시 내합 부근에 위치한다. 즉, $A$ 에 대하여 $t_1, t_3$ 는 모두 $A$가 내합에 위치할 때에 해당한다. $B$를 보면 $t_2$ 일.. 2022. 11. 19.

2022학년도 수능 지구과학2 14번 (천해파의 진행) [2022학년도 수능 지2 14번] ★★★★☆ 사실상 물리학 문제가 나와버렸다. 실전에서 제한된 시간 내에 해결하기 매우 어려웠을 것이다. $\mathrm{Sol)}$ 천해파의 속력은 $v=\sqrt{gh}$ 로 구한다. 그러면 수심이 $4000\mathrm{m}$ 일 때, P와 Q의 속력은 $200\mathrm{m/s}$ 이고 수심이 $360\mathrm{m}$ 일 땐 P와 Q의 속력이 $60\mathrm{m/s}$ 가 된다. ㄱ. 수심이 $4000\mathrm{m}$ 인 해역에서, $P$ 와 $Q$ 의 주기는 같을 수 없다. 속력=파장/주기 에서 속력값은 같은데 두 파동은 파장이 다르기 때문에 주기도 다르다. 대소관계를 물어본다면 당연히 파장이 더 긴 $P$ 가 $Q$ 보다 주기도 길다. (X) ㄴ... 2022. 11. 19.

WKB 근사법(WKB approximation) WKB 근사법은 Wentzel, Kramers, Brillouin 이 발견한 근사적 테크닉이기에 앞 글자를 따 그와 같이 부릅니다. 그런데 무엇을 근사한다는 것일까요? 섭동이론과 변분원리, WKB 근사법 모두 양자역학의 응용에 해당합니다. 응용이라는 것은 어쨌든 기본적 이론을 들고 완벽한 이론적인 상황보다 현실에 가까운 상태를 관찰하겠다는 것이죠. 실제 세계에는 섭동이 존재함을 섭동이론에서 다루었고, 그 때 섭동에 대한 정확한 해석이 까다롭기 때문에 급수 표현을 넣어서, 2차 섭동 에너지까지 값을 근사적으로 구한 바 있습니다. 변분원리는 파동함수의 형태를 감으로 때려넣어 성립하는지를 보는 방법입니다. 다시말해 파동함수를 척척 구하는 것이 아니고 그냥 어떠할 것 같다고 생각한 다음 대입을 하는 것이죠. W.. 2022. 11. 15.

자연주의적 오류 [2009년 MEET/논리학] 윤리학에서는 도덕적인 가치나 규범이 여타의 자연적인 사실과 동일하거나 그것으로 환원된다는 주장을 자연주의라고 한다. 자연주의는 과학의 검증을 받을 수 있는 사실에서 도덕의 근거를 찾으려고 한다. 다윈이 1859년에 『종의 기원』을 출간한 후, 스펜서는 진화론에서 도덕적 판단을 끌어낼 수 있다고 생각했다. 그는 다윈의 진화론을 자기 나름으로 해석하여 어떤 행위가 더욱 진화되면 도덕적으로 더 좋은 행위라고 생각했다. 그에 따르면 적자생존은 치열한 경쟁을 정당화해 주는 것이다. 당시에는 스펜서의 주장이 최신 과학 이론을 도덕과 연결시켜 주는 훌륭한 이론처럼 보였다. 그러나 1903년 영국 철학자 무어는 사실에서 가치를 끌어내려는 모든 시도는 ‘자연주의적 오류’를 저지른다고 비판했다. 누군가에게 “A는 A인가?.. 2022. 11. 1.

양자역학에서 궤도 각운동량(Angular momentum in Quantum Mechanics) 3차원 양자역학에서 각운동량과 스핀은 중요하면서도 알아내어 가는 과정이 상당히 험난합니다. 각운동량은 핵과 전자 사이의 관계 및 전자나 기본 입자와 같은 성질을 파헤치는 영역이기 때문에 양자역학에서 가장 중요한 주제 중 하나이고 그만큼 이해하기도 난해하고, 계산 과정도 복잡합니다. 참고로 각운동량에 대한 분석을 하는 과정은 양자역학 교과서마다 조금씩 차이가 있습니다. 주관적인 생각으론 크게 Griffiths 방식과 Gasiorowicz 방식이 있다고 할 수 있는데, 전자는 약간 Algebric 한 방법으로 직진하고 후자도 비슷하긴 한데 Bracket notation 을 위주로 풀어갑니다. 우선 저는 두 방법을 혼합하긴 할 것인데 전자의 책을 좀 더 참고하도록 하겠습니다. 그리고 후자의 책 방법에 대해서.. 2022. 8. 16.

두 연산자의 교환과 동시 고유벡터(Commutable and Simultaneous eigenvector) 양자역학에서 두 연산자에 대한 고유벡터가 동일하다는 것은 대단히 큰 의미를 갖습니다. 이때 교환자(Comutator)의 개념이 중대한 역할을 합니다. 조심할 것은 같은 고유값을 갖는 고유벡터가 존재할 때, 이 고유벡터들은 축퇴(degeneracy)되어있다고 말하는데 지금은 이를 말하는 것이 아니고 고유벡터가 같은 상황에 주목하는 것이며, 이때 고유값이 특별히 꼭 같을 필요는 없습니다. 이 성질은 대단히 중요하고 특히 각운동량에 대한 이론을 전개할 때 수시로 등장하기에 꼭 알고 있어야 합니다.1. 연산자의 교환과 동시 고유벡터 결과부터 말하자면 두 명제는 필요충분조건입니다. 명제 하나씩 나눠서 증명해 보겠습니다. 1) 동시 고유벡터를 가지면 두 연산자가 교환한다. 정리($Q.M$) 2.7고유벡터 $|\p.. 2022. 8. 16.

상태함수와 경로함수(State function and Path function) 열역학을 시작할 때 가장 먼저 정의하는 것이 상태함수입니다. 상태함수는 열, 통계역학 말고도 일반화학에서 다룬 적이 있을 것입니다. 1학년의 기억을 조금씩 되짚어 봅시다. 1. 상태함수(State function/ Functions of state) 1) 정의 처음 상태에서 특정 상태까지 도달하는 과정에는 상관 없이 계의 상태에 의해서만 결정되는 성질을 '상태함수(State function)'이라 한다. 수학적으로 설명하면 경로에 무관하게 처음 조건과 나중 조건의 차로만 변화를 설명할 수 있을 때에 해당한다. 다시 말해, 계의 상태가 변화할 때 변화 크기는 계의 초기 및 최종 상태에만 관련되어 있고, 변화가 일어나는 과정에는 무관하다는 것이다. 상태함수도 함수이기 때문에 수학적인 관점에서 이해하는 것이 .. 2022. 8. 16.

계와 주위(System and Surroundings) 열역학에선 계와 주위를 관찰하며 계의 상태가 어떻게 달라지는지를 연구합니다. 1. 계와 주위 1) 정의 '계(System)'는 우리가 관심을 가지고 관찰하는 우주의 한 부분이다. '주위(Surroundings)'는 계를 제외한 우주의 모든 부분을 가리킨다. 2) 계의 종류 계의 종류는 계와 주위 사이의 물질 및 에너지 교환 여부에 따라 열린계, 닫힌계, 고립계로 나눈다. '열린계(Open system)'는 계와 주위 사이에 물질과 에너지를 모두 교환할 수 있는 계를 말한다. '닫힌계(Closed system)'는 계와 주위 사이에 물질은 교환할 수 없지만 에너지를 교환할 수 있는 계를 말한다. '고립계(Isolated system)'는 계와 주위 사이에 물질과 에너지를 모두 교환할 수 없는 계를 말한다,.. 2022. 8. 15.

양자역학에서 완전성 관계(Completeness relation) 브라켓 표기법을 배운 다음 가장 먼저 증명해야 할 것이 완전성 관계입니다. 1. 완전성 관계(Completeness relation) 1) 불연속적 고유값에 관한 완전성 관계 정리($Q.M$) 2.6 불연속적인 고유값을 갖는 고유벡터에 대한 완전성 관계는 $$\sum_{n}^{}\,|n \rangle\langle n|=\mathbf{I}$$ 증명) $$\Psi(x,0)=\sum_{n}^{}c_n\psi_n(x) \;\;\ \Rightarrow \;\; |\Psi\rangle=\sum_{n}^{}c_n|n\rangle$$ 가 성립하고, $c_n=\langle n|\Psi\rangle$ 의 관계를 이용하면, $$\begin{align*} \langle \phi|\Psi\rangle =\sum_{n}^{}c_.. 2022. 8. 9.

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