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원심력 에너지와 유효 퍼텐셜(Centrifugal Energy and the Effective Potential) 중심력장에서 궤도의 형태를 추정하는 방법으로 에너지의 관점에서 고찰하는 방식이 하나 있고, 다른 방법은 위치에 관한 함수를 각도에 대한 함수로 풀어내어 극좌표 방정식을 구해 이차곡선 중 무엇인지 찾아내는 수학적 방식이 하나 있습니다. 우선 오늘은 에너지 관점에서 퍼텐셜 에너지와 운동 에너지로 구분을 하고 그에 따른 운동의 형태를 분류하는 작업을 하려고 합니다. 1. 유효 퍼텐셜(Effective potential) 중심력을 받는 물체의 전체 에너지는 이미 유도한 바 있습니다. $$E=\frac{1}{2}\mu\dot{r}^2+\frac{l^2}{2\mu r^2}+U(r)\;\;\cdots\;\;(1)$$ 첫번째 항 $\displaystyle\frac{1}{2}\mu\dot{r}^2$은 $r$에 관한 운동.. 2020. 12. 7.

2021학년도 수능 수학 가형 28번 해설 이번 수능 28번은 역함수의 합성함수에 관한 문제인데 실제 시험장이었다면 많이 당황했을 법한 문제입니다. 일단 28번에 출제되었던 역사상의 문제와 비교했을 때 난이도가 제법 높은 편이며, 식을 다루는 정확한 기술을 알지 못하면 중간에 막혀 시간을 낭비시키고, 집중력을 흐트려 놓았을 가능성이 높습니다. 이 문제가 주는 교훈은, 문제에 대한 난이도를 떠나서 문제를 풀다 막혔을 때 당황하지 않고 나아가는 훈련이 매우 매우 중요하다는 것입니다. 아마 수능 직전에 실전 모의고사를 많이 푸는데, 실전 모의고사는 물론 많이 맞는 것도 중요하지만 실제 시험장에서는 긴장감과 당황스러움을 떨쳐 내는 것이 진짜 실력을 끌어올리기 위한 전초전입니다. 이러한 준비와 자세는 비단 수험생 뿐만 아니라 앞으로 모든 시험 속에서, 심.. 2020. 12. 7.

대수학에서 순환의 서로소의 뜻과 교환법칙(Commutative laws in Mutually disjoint of Cycle) 순환에서는 서로소라는 개념이 중요할 뿐만 아니라 서로소인 순환들에 대해서 성립하는 규칙들이 있습니다. 이를 소개하고 몇가지 증명을 해보려 합니다. 여기서 서로소는 정수론에서 두 소수가 서로소(relatively prime)라는 의미보다는 집합론에서의 두 집합의 서로소(mutally disjoint)의 개념에 가깝습니다. 1. 서로소(Mutually disjoint) 1) 정의 정의($A.A$) 1-6) 순환의 서로소 $S_n$의 두 순환 $\sigma =\begin{pmatrix} a_1 &a_2 &\cdots &a_k \end{pmatrix}\;,\; \tau=\begin{pmatrix} b_1 &b_2 &\cdots &b_r \end{pmatrix}$ 가 서로 공통된 성분을 갖지 않아 $\left \.. 2020. 12. 6.

대칭군(The symmetric group) 1. 대칭군 1) 정의 정의($A.A$) 1-4) 대칭군(Symmetric groups) $X=\left \{ 1,2,\cdots,n \right \}$ 의 모든 치환들로 이루어진 집합 $S_n$은 함수의 합성 $\circ$ 를 연산으로 갖는 군이다. 덧붙여 $S_n$은 치환의 합성에 대한 항등원과 치환의 합성에 대한 역원이 존재하고, 이러한 군 $\left ( S_n,\circ \right )$ 을 '차수가 $n$인 대칭군(Symmetric group of degree $n$)'이라 부른다. 왜 '대칭'인지에 대해서는 아래 그림으로 설명할 것이고, 우선 군 자체의 조건을 만족시키는지 확인을 해 봅시다. 치환은 전단사함수이기 때문에 결국 함수의 일종입니다. 그러면 함수의 합성 $\circ$이란 일반적으로.. 2020. 12. 6.

2021학년도 수능 수학 가형 30번 해설 30번 문항 역시 어렵습니다. 그런데 이번 30번의 특징은 꽤나 특별합니다. 이런 류의 문제는, 수학을 정말 잘하는 최상위권은 오히려 금방 풀어내는 문제지만, 다수의 학생들은 건드려볼 시간도 없었을 것이고 풀어내기 까다롭습니다. 게다가 마지막에 $f(x)$ 를 결정하는 식 세우는 방법이 일종의 테크닉인데, 최근 기출문제에서도 제 기억이 맞다면 2020학년도 6월 평가원 (가)형 21번에 쓰였던 것 말고 없었던 것 같습니다. 이 때문에 시험장에서 30번을 맞았다면 거의 1등급일 가능성이 농후할 듯 싶습니다. 총체적으로 이번 수학 (가)형은 어려운 시험이 맞습니다. 시간이 흐름에 따라 서서히 수능 난이도도 상향 평준화 되는 듯 합니다. 1. (가) 조건 (가)조건에 의하면 실수 전체에서 정의된 함수 $g(x.. 2020. 12. 5.

2021학년도 수능 수학 가형 20번 해설 2021학년도 수능 수학 (가)형 30문항 중 30번을 제외하고 가장 어려운 문제는 20번인 것 같습니다. 이는 여태까지 30번 다음으로 21, 29가 어려웠다는 역사적 전통을 정면으로 깨부수었다는 것에서 충격을 금할 수 없습니다. 게다가 21번은 평범한 4점 수준으로 난이도가 급락했고 18, 19, 27의 준킬러 문제와 더불어 킬러라고도 불릴 정도의 난이도를 갖춘 20번, 28번, 29번이 이번 시험의 분수령인 것 같습니다. 20번은 미적분 문항으로, 발견적 추론을 시행해야 하는 문제로서 개인적으론 28번보다 어렵게 느껴졌습니다. 계속해서 함수를 그리고 스스로 조건을 만족할 수 있는 상황이 무엇인지 고찰을 해야 합니다. 이런 문제는, 해설지를 보더라도 단번에 이해하기가 어렵지요. 해설지를 보면 난잡한 .. 2020. 12. 4.

대수학에서 치환과 순환(Permutation and cycle in Algebra) 군론(Group Theory)은 대수학의 진가를 보여주는 추상적 논리로 설계된 과목이라 보아도 이견의 여지가 없을 겁니다. 수학과에서 주 재료로 요리를 담당하고 있지만 물리학, 화학에서도 군론은 상당히 중요합니다. 왜냐면 고학년 과목인 양자역학에서 군론의 힘을 빌려야 하기 때문입니다. 심지어 아예 따로 물리학에서 필요한 군론을 다루는 교재나 분야도 있습니다. 그러나 굳이 거기까지 올라가지 않더라도 때에 따라선 지금 이 포스팅의 목적이기도 한 선형대수학을 할 때 마주하기도 합니다. 벡터공간이나, 행렬식을 말하고자 할 때도 간단하지만 군의 개념이 필요합니다. 군 이론의 군들 중 우선적으로 무게를 두고 학습하는 군이 바로 대칭군입니다. 대칭군은 의외로 심플한데, 그저 일대일 함수들을 원소로 갖는 집합이기 때문.. 2020. 12. 3.

2021학년도 수능 수학 가형 21번 해설 솔직히 어이가 없네요. 21번이 이렇게 쉬울 줄도 몰랐고, 심지어 이 문제는 문과 학생들이 치르는 (나)형 21번과 조건 (가),(나)가 똑같습니다. 구하는 것만 좀 다릅니다. 가장 큰 문제는 풀이방법이 정말 단순하게 열심히 숫자 대입만 하면 된다는 것입니다... 근 6년간 이런 21번 문제는 처음봅니다. 아무리 수열이라고는 하지만, 그저 대입만 해서 숫자를 구하는 건 너무 허무하지 않나요.. 처음엔 쉽다고 생각했으나 다 풀고 나니까 21번도 기여한 문항배치에 문제점이 너무 많아 수학 (가)형은 어렵습니다. 통상적으로 '풀리던' 번호대에서 막혔을 것 같고, 긴장되는 시험장에서는 한 문제가 막히면 끝까지 계속 막힙니다. 그러면서 풀 수 있는 문제도 못 풀었을 것이고, 이미 시간을 낭비했다는 압박감 속에서 .. 2020. 12. 3.

연산과 군, 환, 체의 간단한 개념 (Basic concept of Binary operation, Group, Ring, and Field) 대학교에서 수학은 공과대학, 수학과, 물리학과, 경제학과 등 수많은 학과에서 사용합니다. 그 중 너나할거 없이 배우는 알파이자 오메가인 과목이 미적분학이며, 이 다음으로 중요한 것이 바로 선형대수학입니다. 그런데 미적분학과 달리 선형대수학은 고등학교에서 볼 수 없었던 엄밀한 논리와 추상적인 전개로 점철되어 있으며 대학 수학의 기초이자 진수를 보여줍니다. 그렇지만, 수학과를 제외한 타 학과에서는 선형대수학을 배우긴 하지만 아무래도 아주 자세하게 배우진 않고, 응용할 수 있는 도구들 중심으로 배우게 됩니다. 예컨대 행렬식, 행렬연산, 행렬의 대각화, 고유값 문제, 선형독립/종속, 선형결합, 선형변환 등이 그 대상입니다.하지만, 선형대수학의 출발은 벡터와 스칼라가 무엇인지 규정하는 일에서 시작하여 벡터공간이.. 2020. 12. 3.

가우스-조르당 소거법(Gauss-Jordan Elimination) 비동차 연립방정식 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 의 해는 계수 행렬 $A$의 특성에 의해 좌지우지 됩니다. 행렬 $A$의 행과 열의 개수의 대소관계라던지, $A$의 랭크 혹은 가진 $\mathrm{pivots}$ 의 개수, 정사각행렬이라면 가역성 여부 등이 해의 운명을 결정하게 됩니다. 이러한 비동차 연립방정식의 이론적 측면을 총정리하기 전에, 일단 방정식 자체를 '푸는 법'을 하나 소개하려고 합니다. 그것은 여태까지 배웠던 개념들과 소거법을 숙지하면 깨우칠 수 있는 방법입니다. 1. 가우스 소거법과 가우스-조르당 소거법 1) 뜻 연립방정식 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 를 첨가행렬 $\begin{bmatrix} A \mid \mathbf{b} \end{bmatrix}$ 로 .. 2020. 12. 2.

가역행렬과 가역성에 대한 모든 정리 (Invertibility of the matrix) 기본행렬과 소거법 누누이 언급했듯이 역행렬을 구하거나 우변이 0이 아닌 비동차 연립방정식의 해를 구하기 위한 것에 의의가 있다고 했습니다. 오늘은 드디어 가역성에 대한 논의를 끝내보려고 합니다. 행렬보다는 행렬식이 먼저 태동했고, 그것은 연립방정식을 잘 풀기 위한 도구를 찾기 위한 시도에서 시작되었습니다. 고민을 거듭하던 수학자들은 1개의 일차방정식 $ax=b$가 해를 가지기 위해서는 $x=b/a$로 쓸 수 있는 값이 존재해야 하고, 그것은 곧 미지수 $x$의 계수 $a$의 역원 $1/a$가 존재해야 한다는 사실을 깨닫게 됩니다. 똑같은 원리가 행렬로 표현된 연립방정식에서도 적용되어, $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 에서도 미지수 앞의 계수행렬 $A$의 역원 역할을 하는 무언가가 존재해야 해.. 2020. 12. 1.

중심력장에서의 궤도와 전환점 (Orbits and turning point in a Central force field) 중심력이 작용할 때 입자가 어떤 궤도를 그리며 운동할지에 관한 예측을 하는 것은 중심력장 이론에서 중요한 주제입니다. 천체들의 운동 궤도를 보면 보통 이차곡선에 해당하는 궤도를 그린다는 사실을 알 수 있는데, 이에 대한 분석을 위해선 유효 퍼텐셜까지를 다루어야 하고, 오늘은 그를 소개하기 전에 보다 특별한 궤도에 대해 간단히 설명하려고 합니다. 1. 전환점(Turning point) 태양 주위를 공전하는 지구나 지구 주위를 도는 달처럼 끊임없이 정해진 궤도만을 도는 천체도 있지만, 어떤 천체는 방향을 크게 바꾸거나, 순간적으로 속도가 0이 되는 경우도 있습니다. 중심력장에서의 에너지 식 $$E=H=T+U=\frac{1}{2}\,\mu\left (\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 \righ.. 2020. 12. 1.

행 사다리꼴, 기약 행 사다리꼴 행렬 (Reduced Row-Echelon form) 이제부터 주어진 행렬을 서서히 기본 행 연산을 통해 변형시킬 것입니다. 변형의 목적은 역행렬을 구하거나 연립방정식의 해를 구하는 것에 있습니다. 저번 시간에 설명한 기본 행 연산은 중학생의 테크닉으로 풀었던 연립방정식과 근본적으로 동일하기 때문에, 주어진 연립방정식의 해를 손상시키지 않습니다. 마찬가지로 한 행렬에 기본 행 연산을 계속 적용을 하더라도 그 행렬의 근본적 특성인 랭크가 변하지 않으며, 연립방정식 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 의 해도 달라지지 않습니다. 1. 사다리꼴 행렬 (Echelon form matrix) 행렬 $B\in M_{m,n}(F)$ 에 대해 다음 세 조건을 고려하자. ① 영행이 있으면 그 행은 $B$의 맨 아래에 위치한다. (영행은 여러개여도 좋고 없어도 된다.. 2020. 12. 1.

기본 행 연산과 기본행렬 (Elementary row operation and Elementary matrix) 여태까지 포스팅했던 글들은 모두 오늘부터 나아갈 기본행렬을 다루고 기본 행 연산을 시행하기 위한 초석에 해당합니다. 이제 본격적으로 연립방정식을 하나하나 해체할 도구를 장착해 나아갈 것입니다. 기본 행 연산은 다양한 전공서적에서 연립방정식과 행렬 이론의 맨 앞 머리부분을 차지하고 있지만, 포스팅을 할 때 그 순서를 지키지 않은 데에는 여러가지 이유가 있습니다. 그 중 가장 큰 이유는 행렬 자체에 대한 설명이 고등학교 교과과정에서 빠지면서 많이 부족할 것이라 생각했기 때문입니다. 그 덕분에, 제가 여태까지 이전에 올려놓았던 행렬에 관한 글들을 순서대로 정독하고 넘어오시는 것을 추천합니다. 1. 기본 행 연산 1) 기본 행 연산의 정의 기본 행 연산은 하나의 행렬에서 행과 열을 조작하는 3가지 방법입니다. .. 2020. 11. 30.

중심력과 이체문제(Central Force and Two-bodies problem) 미국 드라마 샐베이션(Salvation)을 보면 1화에서 MIT 대학원생 리엄 콜이 친구들과 한 잔 할 겸 바에 모입니다. 음식을 주문하며 그는 친구들과 '다체문제(Many-bodies problem)'을 푸는 것에 대한 가벼운 토론과 상대방에 대한 비난을 가벼운 장난 어조로 주고받는데, 그러던 와중 맘에 드는 여성을 발견한 리엄은 '이체문제(Two-bodies problem)'을 푸는게 급하다면서 자리를 벅차고 일어서죠. 친구들은 도망가는 것처럼 보이는 그를 두고 이체문제는 고등학교 문제라며 비아냥거립니다. 여기서 리엄은 커플이 되기 위한, 진짜 이체(Two-bodies)를 이루기 위한 문제를 풀러 간 것이라 해석해야 맥락상 정확하겠지요... 극 중 그의 전공이 천체물리학인 점을 감안하면, 이들이 나눈.. 2020. 11. 30.

행렬의 영공간 (The Nullspace of Matrix) 연립방정식의 해공간과 관련된 중요한 정리를 알고 나면 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 를 풀기 위해선 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 을 풀 줄 알아야 한다는 사실을 체득했을 것입니다. 오늘은 우변이 영벡터인 이 방정식을 풀어볼 것입니다. 우선, 이 방정식은 반드시 자명해 $\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 를 갖습니다. 이것은 임의의 행렬 $A$에 대해서 성립하는 것으로, $A$의 성질과는 무관합니다. 그렇다면 행렬 $A$의 특성이 방정식 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 에 영향을 주는 요인은 무엇일까요? 바로 자명해 이외의 해를 만들어내는지의 유무와, 만들어낸다면 그것이 어떤 꼴인지에 관한 것입니다. 1. $A$의 가역성(invertible) 정리($L.A.. 2020. 11. 30.

연립방정식의 해공간과 관련된 중요한 정리(The significant Theorem related with solution space of system of equation) 대학에서 미분방정식을 처음 접할 때 정확한 이유를 구체적으로 설명해주지 않고 뭉뚱그려 설명하는 부분 중 대표적인 2가지는, 1계 선형 미분방정식에서 일반해를 선형결합으로 쓰는 것에 대한 이유, 그리고 2계 선형 미분방정식에서 일반해를 보조해와 특수해의 합으로 쓴다는 점입니다. 많은 학생들이 미분방정식을 처음 배울 때 왜 해를 이렇게 적어야 하는지 이해하지 못합니다. 그것은 미분방정식의 교재가 부실하거나, 강의에 하자가 있는 것이 아닌 선형대수 공부를 제대로 배우지 못했기 때문입니다. 연립방정식, 미분방정식 등에서는 우변이 0일 때와 0이 아닐때로 나누어 푸는 것이 굉장히 중요합니다. 비동차(inhomogeneous)미분방정식의 해는 동차(homogeneous)미분방정식의 해를 포함하는 것과 같이, 연립방.. 2020. 11. 30.

행공간과 열공간(Row space and Column space) 행렬의 수많은 특징은 거듭 강조하듯이 행렬의 '랭크(rank)'가 보유하고 있습니다. 그 다음으로 행렬의 특징을 관찰하는데 좋은 도구는 행렬의 영공간, 행공간, 열공간을 들여다 보는 것입니다. 어쩌면 이들이 모여 랭크라는 우아한 숫자를 건설한 것으로도 볼 수 있는데, 이들은 공간이라는 단어가 들어가 있듯이 행렬에 벡터공간의 논리를 적용한 것입니다. 이것이 가능한 까닭은 행렬은 행들과 열들로 쪼개어 바라볼 수 있고, 각각의 행과 열은 행벡터와 열벡터라는 '벡터'로 생각할 수 있기 때문입니다. 그러면 자연스레 행렬에 대한 벡터공간을 논의할 수 있게 됩니다. 행렬 자체는 벡터공간이라 할 수 있어 행과 열을 따로 보아 행벡터와 열벡터가 만드는 벡터공간이 연립방정식에서 매우 중요한 역할을 합니다. 특히 열벡터의 .. 2020. 11. 30.

행렬의 계수, 랭크(The Rank of matrix) 어떤 한 행렬의 여러가지 특성을 보여주는 지표로서 '랭크(rank)'는 단언컨데 가장 막강한 위력을 발휘합니다. 행렬의 랭크를 알면 행과 열의 독립성, 행공간의 차원, 차원정리, 가역성, 기본행연산 등등에 관한 내용을 완벽히 파악할 수 있습니다. 랭크는 몇몇 전공서적에서는 행렬의 '계수'라 번역해 두었는데, 혼동의 여지가 있으니 본 블로그에서는 그렇게 쓰지 않을 것입니다. 오늘은 랭크를 구하는 방법을 알아볼 것인데, 랭크는 피벗을 설명했을 때 처럼, 랭크 역시 한 줄의 정의로는 개념에 대한 정확한 체득이 어렵고 정의가 다양하기 때문에, 기초부터 천천히 그 뜻을 헤아려 봅시다. 1. 랭크의 정의(Definition of Rank) 1) 행과 열의 기본적 특성으로 정의 랭크에 대한 정의는 크게 4가지로 .. 2020. 11. 29.

선형 연립일차방정식 3) 소거행렬과 치환행렬(Elimination matrix and Permutation matrix) 이제부터 연립일차방정식을 해체할 본격적인 도구를 소개하려고 합니다. 결국 연립일차방정식의 목표는 해를 구하는 것이고, 그 방법은 행렬을 사용할 때는 궁극적으로 '기본행/열연산(Elimentary Row/column operation)'이라 불리는 연산을 유한번 적용하여 보다 행렬의 특성을 판단하기 쉬운 꼴로 바꾸는 것에 있습니다. 그 꼴이란 '행사다리꼴(row-echelon form)' 또는 '기약행사다리꼴(reduced row-echelon form)'입니다. 기본행연산에 대해서는 바로 다음 시간에 포스팅 할 것인데, 3가지 연산 종류가 존재합니다. 이 중 핵심 과정이 미지수를 '소거'하는 것으로, pivot 을 구할때나 중학교때 배웠던 연립일차방정식을 소거법으로 푸는 과정에 해당합니다. 여태까지 .. 2020. 11. 29.

선형 연립일차방정식 2) 피벗과 소거법(Pivots and Elimination method) 연립방정식에 해와 이들을 행렬표현으로 나타냈을 때 수많은 논의들은 행렬의 피벗과 관련성이 있습니다. 피벗이 무엇인지 다루어 보도록 합시다. 1. 소거법과 피벗(pivot) 피벗이 무엇이다, 라고 말하는 방법은 굉장히 많습니다. 처음 공부하시는 분들은 이런 말을 들으면 당황하시겠지만 보통 수학 개념 용어들을 배울 때 정의를 깔고 시작하는 것과 다르게, 피벗과 랭크는 무작정 정의를 들으면 이해가 까다로울 뿐만 아니라 제 의미를 파악하지도 못할 겁니다. 저번 포스팅에서 예로 들었던, 중학교 수준에서 배우는 아래의 연립방정식을 봅시다. $$ \left\{\begin{matrix} x-2y=1\\ 3x+2y=11 \end{matrix}\right.$$ 이것을 소거법으로 풀 것입니다. 헌데 단순히 소거법으로.. 2020. 11. 29.

미분방정식의 종류, order와 degree, 선형과 비 미분방정식을 시작하기 전에 관련된 기본용어를 짚어보고 넘어가 봅시다. 1. 미분방정식(Differential Equation) 미분을 포함하는 방정식을 '미분방정식'이라 하고, 이 방정식에 편미분이 있으면 '편미분 방정식(Partial Differential Equations, PDE)', 없으면 '상미분 방정식(Ordinary Differential Equations, ODE)' 라고 한다. ex) 상미분 방정식의 예로는 RLC 감쇠진동을 나타내는 미분방정식이 있다. $$L\frac{d^2q}{dt^2}+R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=0$$ ex) 편미분 방정식의 예로는 '(시간 비의존)슈뢰딩거 방정식'이 있다. $$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi +V\P.. 2020. 11. 28.

미분방정식이란?? (Introduction of Differential Equations) 미분방정식은 일반적으로 함수에서 사용했던 변수들 $x,y$가 동일하게 등장하여, 독립변수 $x$ 와 종속변수 $y$ 에 더하여 미분식 $\frac{dy}{dx}$ 이나 그보다 더 높은 고계도함수 $y''$ 등이 포함되어 있는 방정식입니다. 나아가 전체 변수의 개수가 3개 이상이 되어 다변수함수 또는 편미분이 섞여 있는 경우가 있습니다. 공학과 물리, 화학을 살펴보면 상당히 많은 미분방정식들이 존재합니다. 뉴턴의 제 2법칙인 $ \mathbf{F}=m\mathbf{a} $ 는 힘을 운동량에 대한 시간 변화율로 표현할 수 있다는 점에서 미분방정식이고, 단순히 가속도벡터 $a$ 를 변위 $x$ 의 시간에 대한 2차 미분으로 해석해도 역시 미분방정식이 됩니다. 이외에도 용수철이 늘어나는 운동을 기술하는 훅의 법.. 2020. 11. 28.

선형 연립일차방정식 1) 연립일차방정식의 뜻 (System of equation) 대한민국 교육과정에 의하면 중학교에서 우린 처음으로 연립방정식이라는 것을 배우게 됩니다. 연립방정식은 x와 y가 미지수인 일차방정식 두개가 묶여져 있는 것에 지나지 않고 소거법과 대입법을 사용하면 중학생 수준에서 누구나 답을 낼 수 있습니다. 그런데 행렬의 곱셈을 배웠다면 행렬 표현을 이용해 연립방정식을 푸는 것이 가능하고, 이것이 행렬 연습의 첫 단계입니다. 굳이 행렬을 이용해 연립방정식을 푸는 것이 도대체 왜 중요할까요? 그것은 연립방정식을 행렬 표현으로 접근하게 되면 거대한 수학적 감각과 지식을 얻을 수 있기 때문입니다. 첫째로 선형방정식에 대한 전반적인 이해가 가능해집니다.(이것은 미분방정식을 풀 때 아주 큰 도움이 됩니다!) 둘째로 행렬 연산에 보다 익숙해질 수 있으며, 셋째로 행렬의 매우 .. 2020. 11. 28.

행렬의 곱셈(Multiplication of matrices) 행렬의 곱셈은 행렬의 덧셈이나 스칼라 배와는 다르게 각각의 동일한 위치의 성분끼리 숫자를 단순히 더하는 행위로 정의되지 않고, 처음 봤을 때는 당황할 수 있을 정도로 특이하게 정의합니다. 오늘은 그 정의와 그렇게 정의를 하는 이유에 대해 분석해 보려고 합니다. 1. 행렬 곱셈의 정의 행렬은 행렬식과 더불어 연립일차방정식의 해를 구하기 위한 부단한 노력에서 탄생한 녀석입니다. 연립일차방정식의 좌변에는 상수 계수들이 곱해진 미지수들이 존재하고, 우변에는 단순 상수가 존재합니다. 이 연립일차방정식의 숫자와 미지수들을 간단히 표현하기 위해 행렬을 도입해 사용했는데, 그 방법은 미지수와 상수가 곱해져 있는 연립일차방정식의 좌변을 미지수와 상수 각각 따로 분리해 쓰는 것입니다. $$ \left\{\begin{m.. 2020. 11. 28.

블로그 소개 (Introduction of this Blog) 안녕하세요, 주인장 Gosamy입니다. 본 블로그에 오신 모든 분들 환영합니다 :) 이 블로그에서는 수학과 물리학 위주의 주제로 배우고 익힌 내용을 두고보며 가능한 한 낮은 눈높이로 설명을 도와주는 글들을 올리려 합니다. 그 범위는 고등학교~학부 수준입니다. 기존 네이버 블로그에서 1년간 포스팅을 해오다가, 수식 입력 기능의 장점 덕분에 조정기간을 거쳐 궁극적으로는 티스토리로 이동을 하려고 합니다. 완전히 네이버를 버리진 않을 겁니다. 네이버 블로그 만에 감성이 있긴 있어요...^^;; https://blog.naver.com/cindyvelyn 물론 따분하고 지루하게 수학, 과학 글만 올리고 싶지는 않아서 여러모로 고민을 하고 있습니다. 아직 옮긴지 얼마 되지 않아 규모가 적지만 최대한 빨리 글들을 복.. 2020. 11. 27.

행렬이란 무엇인가? (Matrix in Mathematics) 선형대수학이 뭔지 물어보는 사람한테 가장 간단하게 설명할 수 있는 방법은 그것이 행렬을 다루는 수학이라고 대답해주는 것입니다. 수학에서 행렬이 차지하는, 행렬과 관련된 분야는 함수가 차지하는 크기가 걸맞을 정도로 거대하고 방대합니다. 공학에서 사용하는 일종의 프로그래밍 언어인 MATLAB, 세계가 가상임을 깨닫고 주인공이 현실과 가상을 넘나드는 영화 매트릭스의 제목처럼 일상생활에서도 행렬의 영어 표현 'Matrix(Plural : matirices)'는 라틴어로 탄생의 기원인 '자궁'이나 '어머니'에 기반을 두고 있을 정도로 세상의 수많은 현상을 표현할 수 있음을 내포하고 있습니다. 그리하여 응용적인 측면에서 보아도 행렬은 공학과 과학에서 약방의 감초이며, 연립방정식을 푸는데도 지대한 공헌을 했기 때.. 2020. 11. 27.

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