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고유공간(Eigenspace) 고유벡터로 이루어진 공간을 고유공간이라 정의합니다. 고유공간은 고유값 문제를 행렬로 처리하는 관점에서 벡터의 기저가 존재한다는 관점, 즉 선형변환의 도구로 사용할 때 고유값 문제를 다룰 때 필요한 개념입니다. 선형변환에서는 주어진 벡터공간이 있어야 정의가 가능하기 때문입니다. 1. 고유공간 1) 정의 정의($L.A$) 5-5) 고유공간 $A\in M_n(F)$ 의 고유값 $\lambda\in F$ 에 대해 고유벡터와 영벡터로 이루어진 집합 $$\begin{align*} E_{\lambda}=E(\lambda)&=\left\{ \mathbf{x}\in F^n \mid A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x} \right\} \\\\&= N\left( T-\lambda I_V \right) \.. 2022. 3. 8.
행렬의 주대각합(Trace of Matrix) 어떤 행렬에 대해 주대각합이 언제나 중요한 의미를 갖는 것은 아닙니다. 다만 고유값 문제를 해결하는 경우처럼 주대각성분들의 합이 쓰일 때가 있는데 그 때 간편한 기호를 통해 나타내면 편리하기 때문에 따로 정의하는 것이라 보면 됩니다. 더욱이 주대각합은 다음과 같은 일반적으로 행렬의 관계에서 성립하는 관계들을 만족합니다. 1. 주대각합 1) 정의 $A\in M_n(F)$ 의 '주대각합(trace)' 는 $A$의 모든 주대각성분의 합이며, $\mathrm{tr} A$ 로 나타내고 다음과 같이 정의한다. $$\mathrm{tr} A=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}$$ 참고로 주대각합을 '흔적(trace)'으로 직역한 교과서들도 있습니다. 2) 성질 정리.. 2022. 3. 8.
대각행렬과 행렬의 닮음 (Diagonal matrix and Similar of matrix) 고유값 문제는 행렬의 대각화(Diagonalization)과 아주 밀접한 연관성을 갖습니다. 대각화를 하려면 고유값 문제를 풀어야 하고, 그 때 발생하는 고유값과 고유벡터가 특별한 성질을 만족해야 합니다. 그리고 여기서 행렬 사이의 닮음 관계도 등장합니다. 대각화란 행렬을 대각행렬로 만든다는 것인데, 이에 대해 간단히 짚어보고 가겠습니다. 1. 대각행렬(Diagonal matrix) 1) 정의 정의($L.A$) 5-2) 대각행렬 $M_n(F)$ 에서 주대각성분은 $\lambda_1, \cdots \lambda_n$ 이고 나머지 모든 성분들은 0인 행렬을 '대각행렬(Diagonal matrix)' 이라 하고 $D=\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots ,\lambda_n)$ 으로 나타낸다... 2022. 3. 8.
복소수와 복소평면(Complex number and Complex plane) 복소수는 수 체계에서 가장 큰 범위에 속하는 수입니다. 한국 고등 교육 과정에서는 고등학교 1학년 때 허수와 함께 처음 배우게 됩니다. 그러니 결국 복소수를 배운다는 것은 기존에 우리가 다루고 있었던 실수에, 허수라는 것을 도입해 확장해 나간 것이라 생각하면 좋습니다. ​허수는 흔히 가상의 수라고 불리고, 실재하지 않지만 수학적으로 도입한 것이라고 많은 사람들이 말하기는 하지만 수학을 조금 더 깊게 공부하다 보면 굉장히 많은 곳에서 등장한다는 사실을 알 수 있습니다. 정확히 말하면, 일상 생활에서 살아가면서 사용하는 수학에선 사실상 허수는 필요가 없으나 수학 영역의 공부를 하다 보면 필요합니다. 원래 수 체계는 자연을 해석하기 위해 인간이 도입한 것이니 수학적 정의를 만족하는 한 자연에 그 수가 존재하는.. 2022. 3. 2.
전기쌍극자 모멘트의 뜻과 이에 의한 전기장과 퍼텐셜(Electric field and potential of Electric dipole) 전하량이 같고 부호가 다른 양전하와 음전하 두 전하의 쌍을 전기 쌍극자라고 부르는데, 물리와 화학에서 간간히 등장합니다. 물론 두 과목에서의 접근법이 다릅니다. 화학에서는 반데르발스 힘과 같은 분자간 힘과 더불어 영구 전기 쌍극자 모멘트를 갖는 분자들이 어떤 방향으로 쌍극자를 만들어서 편극되거나 전자가 치우친 방향이 어느 쪽인지 등을 알아내는 것에 관심이 있다면, 물리에서는 쌍극자가 만드는 전기장과 전위에 방점을 둡니다. 이처럼 전기쌍극자는 그 자체만으로도 만들어진 전기장과 퍼텐셜이 신비롭지만, 특히 다중극 전개를 함에 있어서 가장 중요한 역할을 수행하게 됩니다. 오늘 할 일은 전기 쌍극자가 만드는 전기장과 퍼텐셜을 고민해 보는 것입니다. 1. 전기 쌍극자 1) 정의 크기가 같고 부호가 반대인 두 전하 .. 2022. 2. 21.
놈과 놈공간 (Norm, and Normed vector spaces) 벡터의 크기와 길이에 대한 정보를 다루기 위해서는 흔히 절댓값 벡터로 알고 있는 노름(norm)에 대한 지식이 필요합니다. 노름은 번역을 하기가 힘들어 번역서에서도 그냥 노름이라 말하지만, 읽을 때는 '놈'에 가깝습니다. 그러나 놈은 한국어로 좋은 뜻은 아닐 뿐더러 R 발음을 살려주기 위해서 노름이라고 적어둔 책이 좀 더 많습니다. 저는 아무 표현이나 다 사용할 것입니다. 노름은 고등학교 수학에서 사용했던 절댓값의 일반화되고 추상화된 개념입니다. 길이나 거리를 측정하기 위한 수단으로서 사용되는 경우가 대부분입니다. 지금은 선형대수학 포스팅을 하고 있기 때문에 선형대수학의 노름을 위주로 설명하겠지만, 공간이라는 키워드에 초점을 맞춘다면 노름을 특정 정의를 만족하는 노름 공간의 원소로서 관찰하는 것도 가능합.. 2022. 2. 20.
선형범함수와 쌍대공간(Linear functional and Dual space) 고전역학에서 사이클로이드 곡선 등을 다룰 때 범함수와 변분법에 대한 소개를 한 적이 있습니다. 범함수는 함수의 함수라 할 수 있어서, 어떤 함수 식에 값을 넣으면 그에 따라 스칼라를 토해내는 구조로 생각할 수 있습니다. 함수는 사상, 변환과 같은 것이기에 선형대수학의 언어로 범함수를 처리할 수 있습니다. 물론 선형성을 가진 것만 취급할 것입니다. 1. 선형범함수와 쌍대공간 1) 정의 벡터공간 $V$에서 스칼라 공간 $F$로의 선형변환(사상)을 고려하자. 이러한 모든 선형사상의 집합 $\mathcal{L}(V,F)$ 을 '쌍대공간(Dual space)'라 부르고 $V^{*}$ 라 표기한다. $V^{*}$의 각각의 원소를 '선형범함수(Linear functional)'라 한다. $$V^{*}=\left\{ .. 2022. 2. 18.
르장드르 방정식의 급수해와 르장드르 다항식(Legendre equation and Legendre polynomials) 수학과도 아닌데, 그렇다고 공대에서도 하지 않지만, 물리학에서 각별히 격하게 파헤쳐 그 성질들을 탐구하는 몇몇 함수들이 있습니다. 대부분 특수함수라고 부르는 대상들로, 감마함수, 베셀함수, 르장드르 함수, 에르미트 함수, 구면조화함수, 베타함수 등이 있습니다. 이 밖에도 매우 많습니다. 그래서 수리물리학 책들을 보면 다른 전공에서 공부하는 책과 달리 주로 미분방정식 챕터를 보면 해를 구하는 과정에서 등장하는 여러 함수들이 한 챕터씩 책을 차지하고 있습니다. ​ 일전에 라플라스 방정식을 구면좌표계에서 풀 때 변수분리법을 이용하면 극각(polar angle part)부분의 해에서 연관 르장드르 다항식을, 그리고 만약 m=0인 방정식이라면 르장드르 다항식을 얻을 수 있다고 언급한 적이 있습니다. 이처럼 르장드.. 2022. 2. 16.
직교/구면/원통 좌표계에서 차원 요소, 기울기, 발산, 회전, 라플라스 연산 그래디언트를 활용하여 여러 가지 수학적·물리적 의미를 갖는 양들을 계산할 수 있습니다. 그런데 벡터함수를 미분하거나 적분할 때는 좌표계에 따라 그 꼴이 다릅니다. 대표적으로 쓰는 세 좌표계에 대한 미분량(차원 요소), 기울기, 발산, 회전, 라플라스 연산을 정리해 보겠습니다. 증명은 하지 않습니다. 직교 좌표계(Cartesian Coordinate) 변위 요소 : $d\mathbf{r}=dx\,\mathbf{i}+dy\,\mathbf{j}+dz\, \mathbf{k}$ 면적 요소 : $dx,dy,dz$ 중 두개를 곱함 부피 요소 : $d\tau = dx\,dy\,dz$ 발산 : $\nabla \cdot \mathbf{F}=\displaystyle\frac{\partial F_x}{\partial x}+\.. 2022. 2. 14.
내적공간 (Inner product space) 내적공간은 대부분의 선형대수학 책의 마지막에 위치해 있습니다. 보통 마지막에 위치하면 학습률이 떨어지기 마련이죠. 그런데 물리학을 공부하며 필요한 선형대수학의 절반은 내적공간이라 해도 과언이 아닙니다. 고전역학에서 대각화나 고유치 문제를 단독적으로 쓰거나 가벼운 행렬 연산을 하는 경우를 제외하면 수리물리학만으로도 충분하지만, 양자역학은 그것을 용납하지 않습니다. 양자역학은 선형대수학과 미적분학, 특수함수의 삼위일체고 하나라도 빼놓고는 제대로 소화하기 어렵습니다. 그리고 양자역학에서의 벡터공간은 대부분 내적공간(중 특이한 성질을 가진 것)입니다.   사실 공부를 조금 더 깊게 해주면 공간의 종류는 굉장히 많습니다. 그리고 많은 공간들은 내적을 이해하고 나서야 정의가 가능합니다. 그래서 내적공간을 공부할 때.. 2022. 2. 13.
푸리에 급수의 수학적 의미 쉽게 알아보기(Fourier series) 대학 수학에서 푸리에 해석과 푸리에 계수는 절대 빼먹을 수 없는 요소로 등장합니다. 그런데 대부분의 학생들은 K-수학식으로 주구장창 푸리에 계수를 열심히 구하는 방식으로만 공부를 하지 않았을까 싶은 개인적인 생각을 합니다. 저도 처음 배울 땐 그런 식으로 배우기는 했습니다. 푸리에 해석에 대해서는 궁극적으로 수학적 성질의 의미를 이해해야 합니다. 그리고 푸리에 해석은 대학에서 수학을 공부하는 거의 모든 이과생들이 반드시 사용하게 되는 도구이기에 이미 많은 컨텐츠들이 존재합니다. 그러한 컨텐츠들을 여러개 참고하다보면 공통적으로 하는 말이 있습니다. 바로 '아무리 복잡한 파형이라도 기본 파형들의 조합으로 쪼갤 수 있다'라는 말입니다. 대충 공부하신 분들도 어디서 주워 들었을 겁니다. 저 문장이 가진 의미를 .. 2022. 2. 13.
삼각함수의 덧셈정리와 그 파생공식 정리 삼각함수의 덧셈정리 및 그로부터 파생되어 만들어지는 여러 공식을 정리한 글입니다. 파생공식은 덧셈정리로부터 유도 가능하고 덧셈정리는 정석에서도 등장하니 따로 증명하지 않습니다. 1. 삼각함수의 덧셈정리 삼각함수의 덧셈정리 $$\sin \left( \alpha +\beta \right)=\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\\\ \sin \left( \alpha -\beta \right)=\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \\\\ \cos \left( \alpha +\beta \right)=\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\\\ \cos \left(.. 2022. 2. 13.
고유값과 고유벡터 (Eigenvalue and Eigenvector) 고유값 문제는 행렬과 벡터의 곱이 그 벡터의 실수배와 등호로 이어져 있는 간단한 형태를 띠고 있습니다. 주저리 첨언할 필요도 없이 고유값 문제는 굳이 선형대수학을 따로 공부하지 않아도 자연계 학생들이 전공과목에서 거의 필연적으로 마주하는 문제입니다. 특히 물리학에서는 고전역학에서 연성진동(Coupled Oscillation)이나 관성 텐서의 대각화를 할 때 등장하고, 양자역학에서야 말할 것도 없습니다. 이처럼 공학과 물리에서 매우 폭넓게 응용되기 때문에 공대생들에게 꼭 필요한 도구입니다. 이 경우 99%의 확률로 고유값 문제를 행렬의 관점에서 다가가게 됩니다.    하지만 행렬과 선형변환은 동형이고, 따라서 고유값 문제를 선형변환스럽게 다룰 수도 있습니다. 그렇게 되면 의미 해석이 조금씩 달라지고 약간 .. 2022. 1. 5.
행렬과 선형변환의 동형 관계 성질(The Isomorphic relation between Matrix and Linear Transformation) 이제 행렬과 선형변환의 세계를 대응시켜 보면서 두 세계의 유사성을 파악할 시간입니다. 이 내용은 모든 선형대수학 책에 사각형 형태로 기술되어 있기도 하고, 책에 따라 선형대수학의 기본정리라는 거창한 말을 붙이기까지 할 정도로 심도있고 강조해서 다루어야 하기 때문에, 조금 길게 서론을 작성해 보겠습니다. 1. 개요 동형(isomorphic)이라는 말을 다시 한번 떠올려 봅시다. 영어보다는 한자를 생각하면, 한가지·같을 동(同)에 모양·거푸집 형(型)을 씁니다. 직역하면 형태가 동일하다는 뜻이죠. '(무엇과 무엇의)형태가 동일하다'는 말은 '(무엇과 무엇이)완전히 동일하다'는 말과는 다릅니다. 후자의 개념은 'A는 A다'처럼 사실은 같은 대상인데, 그를 가리키는 단어가 둘 이상인 경우를 말합니다. 마치 '총.. 2022. 1. 1.
행렬의 선형변환 : 좌측 곱 변환 (Left-hand Multiplication) 오늘은 $L_A$라는 친구를 파헤쳐 볼겁니다. 이 개념과 동형사상을 합치면 행렬과 선형변환의 구조적 동일성에 도달할 수 있습니다. 그런데 $L_A$에 대한 이해가 여러 선형대수학 책을 봐도 자세하지 않아 쉽지 않을 것이라 생각했을 뿐만 아니라 딱 요지를 정확하게 추출할 줄 알아야 하는데, 많은 책들이 혼란을 가중시키더군요. 그럴 것 같아서 또 이 글을 쓰게 되었습니다. $L_A$는 이를 좌측 곱 변환(Left-hand Multiplication)이라 적어둔 것도 있는데, 이러한 용어보다는 행렬의 선형변환이라는 표현이 좀 더 적절하다고 생각합니다. 이걸 꼭 기억하면서 시작해 봅시다. 1) 행렬의 선형변환을 찾아라. 이 챕터에서 우리는 계속 선형변환(사상)을 공부하고 있습니다. 일종의 함수를 공부하고 있는 .. 2022. 1. 1.
선형변환의 동형사상(Isomorphic, Isomorphism) 이제 선형변환의 종착역이 서서히 보입니다. 오늘은 선형변환과 행렬 사이에 가려져 있던 장막을 서서히 벗겨내서 두 세계를 이어주는 다리를 발굴하고, 그 구조와 의미를 체득하는 것을 목표로 합니다. 이 내용은 어쩌면 선형대수학에서 가장 중요한 부분이며, 추상적인 세계를 머릿속으로 이해하는 과정에서 많은 학생들이 좌절하고는 합니다. 저 또한 그랬고요. 이를 이해하는 것이 굉장히 힘들었었습니다. 하지만 굴복하지 않고 이렇게 글을 쓰고 있지요. 여러분도 묵묵히 따라와 주시길 바랍니다. 앞으로 남은 세 가지 과제는 다음과 같습니다. 1. 동형사상이 무엇인가? 2. 행렬의 선형사상(=좌측 곱 변환) 이 무엇인가? 3. 행렬과 선형사상의 세계가 어떻게 맞물려 있는가? 오늘은 1번을 할 겁니다. 종합적인 이야기는 3에서.. 2021. 12. 29.
베셀 방정식과 베셀 함수의 급수해(Bessel Equation and Bessel Function with series solution) 본 글은 제가 매우 중요한 베셀 함수를 바닥부터 꼭대기까지 쌓아 올리기 위해 이를 갈아 만들었습니다. 설명이 매우 자세하고 친절하지만 중간 중간에 여러분들이 모르는 개념, 곧 학습이 선행되어야 하는 개념이 마구 튀어나올 가능성이 높습니다. 가능한 한 그 링크를 타고 선행되어야 할 개념을 공부한 뒤 돌아오는 것을 추천합니다. 물론 시간은 오래 걸리겠지요. 그렇지만 이 블로그 글은 상당히 친절하며, 겉핥기로 공부하는 것은 추천드리지 않습니다. 그러면 절대로 수학을 잘 할 수는 없기 때문입니다. 베셀 방정식은 프로베니우스의 방법을 적용해 얻을 수 있는 가장 전형적인 2계 선형 동차 상미분방정식입니다. 급수해를 통해 해를 구했을 때 나오는 함수가 베셀 함수인데, 수학과는 미분방정식에서, 물리학과와 공대는 각각 .. 2021. 12. 24.
2계 선형 동차 상미분방정식의 두번째 해의 급수 형태 (The form of Second Series solution in second-order linear homogeneous ODE) 앞선 시간에 2계 선형 동차 상미분방정식의 두번째 해는 첫번째 해를 바탕으로 엮어 적분식으로 쓸 수 있음을 보였습니다. 이 관계는 계수가 상수인 2계 선형 미분방정식에서는 별로 유용하지 않지만, 특수함수를 내포한 복잡한 상미분방정식을 프로베니우스 방법으로 다루면서 상정하는 급수해를 적을 때 등장하는 두번째 해를 탐구하는데 지참할 도구로서 기능합니다. 오늘은 두번째 해에 대한 급수 형태를 찾을 것입니다. 다시 말하지만 급수 형태의 해를 굳이 찾는 이유는 특수함수가 포함된 상미분방정식의 해를 찾을 때 프로베니우스 방법을 쓰기 때문입니다. 프로베니우스 방법을 쓰는 이유는 이걸 안쓰고서는 해를 구하기 어렵기 때문이고요. 1. 2계 선형 동차 상미분방정식의 두번째 해의 급수 형태 오늘은 역대 최장 포스팅이 될 것.. 2021. 12. 24.
2계 선형 동차 상미분방정식의 두번째 해 [The Second solution of second-order linear Homogeneous ODE] 이전 글과 이어집니다. 이제 두번째 해가 어떻게 생겼는지 직접 구해봅시다. 두번째 해는 첫번째 해와 연관지어 적을 수 있습니다. 여기서 연관지어 적는다는게 두 해의 관계가 상수배로 이어져서 선형 종속임을 뜻하는 것이 아닙니다. 두 해가 존재하면, 둘은 선형 독립 관계입니다. 굳이 강조해서 말하는 이유는 두번째 해의 모양이 첫번째 해의 곱처럼 묘사되어 있기 때문입니다. 그러니 적분식이 있음을 살펴보면, 절대 선형 종속이 아님을 파악할 수 있습니다. 정리($D.E$) 2.9 2계 선형 동차 상미분방정식 $$y''+p(x)y'+q(x)y=0\;\;\;\cdots \;\;\;(1)$$ 의 해공간의 두 기저 중 첫번째 해(기저)를 $y_1(x)$라 하자. 그러면 두번째 해(기저)는 $$y_2(x)=y_1(x)\i.. 2021. 12. 22.
2계 선형 동차 상미분방정식의 해공간의 기저가 2개임을 증명 [Prove that the Second-order Linear ODE has at most two basis of its solution basis] 상미분방정식의 order는 1,2계까지만 다루는 것이 정석입니다. 사실상 1,2계가 대부분이고 특수함수들도 2계에서 발생합니다. 또한, 2계까지를 학습한다면, 자연스레 $n$계 상미분 방정식까지 확장시켜 논의해보는 것이 가능하기 때문입니다. 오늘은 2계 선형 상미분방정식의 마지막 내용, 곧 해의 개수가 2개이며 3개 이상이 될 수 없음을 보일 것이고, 첫번째 해를 구했다면 두번째 해도 첫번째 해를 이용해 구할 수 있음을 정리할 것입니다. 여기서 주의할 것이 있습니다. 대부분의 교과서에서 앞서 설명한대로 '해의 개수'라 적어두었지만 정확히 말하면 '해공간의 기저'가 2개이지, 원래 미분방정식의 해는 무수히 많음을 곱씹어 보아야 합니다. 그래서 일반해는 선형결합으로 쓰는 것이고요. 즉 기본해 집합의 원소가 .. 2021. 12. 22.
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